Mandelbrotmenge

Julia-Mengen

Hintergrund

Julia-Mengen sind einer der am meist abgebildeten Fraktale, die auf elegante Weise Ästhetik und Mathematik vereint. Sie sind eine Teilmengen der komplexen Zahlenebene. Erstmals 1918 wurden Julia-Mengen vom Mathematiker Gaston Maurice Julia in seinem Werk "Memoire sur l'iteration des functions rationelles" behandelt.

Der Hintergrund dieser Arbeit war die Untersuchung über die globale Dynamik des Newton-Verfahrens, die erstmal 1879 von Arthur Cayley von den reellen Zahlen auf die komplexe Ebene ausgedehnt wurde. Caylay studierte den Fall eines kubischen Polynoms [math] f(z) = z^3 + 0 [/math], indem er versuchte mithilfe der Newton–Fourier Methode die Nullstellen von [math] f [/math] zu finden. Da es in der komplexen Zahlenebene hier drei Lösungen gibt, war Cayleys Ziel ,eine allgemeine Methode zu finden, die bestimmt, gegen welche Wurzel die Iteration für einen gegebenen Startwert [math] z [/math] konvergiert.

Da jegliche Anstrengungen Cayleys und anderer Mathematiker keine Resultate zeigten, wurde die Arbeit die darauffolgenden Jahre eingestellt. Erst zu beginn des 20. Jahrhunderts, als von der Französischen Akademie für Naturwissenschaften ein Preis angekündigt wurde, nahmen zahlreiche Mathematiker die Arbeit erneut auf. Die Mathematiker, die erfolgreiche Resultate hervorbrachten, waren Pierre Fatou und Gaston Julia, die mit ihrer entwickelten Theorie der Iterationen rationaler Funktionen in der komplexen Ebene das Problem lösten.

Julia lieferte hierbei eine konkrete Beschreibung von komplexwertigen Mengen, für deren Punkte die Orbits bei Anwendung auf eine rationale Funktion beschränkt bleiben und gewann den ersten Preis. Fatou, der ähnliche Ideen wie Julia in seiner Arbeit vorstellte, erhielt den zweiten Preis. In den nächsten Jahren wuchs das Interesse an diesem Thema sehr stark an und zahlreiche bekannte Mathematiker wie Harald Cramer widmeten ihre Aufmerksamkeit der Julia-Mengen. Doch aufgrund der fehlenden Möglichkeiten Rechenmaschinen für die aufwendigen Berechnung zu benutzen, gerieten auch die Julia-Mengen mit den Jahre in Vergessenheit.

Erst 1977 gelang es dem französische Mathematiker Benoit Mandelbrot mithilfe von Computergrafik die Schönheit der Julia-Mengen visualisieren.

Definition

Sei [math]f[/math] eine auf ganz [math]\mathbb{C}[/math] meromorphe Funktion. Des Weiteren sei [math]\mathrm{grad}(f) \gt 1[/math]. Definiere für ein [math]z \in \hat{\mathbb{C}} := \mathbb{C} \cup \{\infty\}[/math] den dynamischen Prozess \begin{align*} z \mapsto f(z) \end{align*} wodurch ausgehend von einem Startpunkt [math]z_0 \in \hat{\mathbb{C}}[/math] die Rekursion \begin{align*} z_{n+1} = f(z_n), \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{align*} ensteht. Dadurch erhält man die Folge [math]z_0 \mapsto f(z_0) =: f^1(z_0) \mapsto f(f(z_0)) =: f^2(z_0)\mapsto \cdots[/math] von komplexen Zahlen, wobei hier mit [math]f^n, n \in \mathbb{N}[/math] , die n-malige Hintereinanderausführung von [math]f[/math] gemeint ist. Die Folge [math]f^n(z_0)[/math] weist nun zwei grundlegende Verschiedenheiten auf:

• Die Iteration führt unter dem Startwert [math]z_0[/math] zu einer stabiler Dynamik. D.h. [math]|f^t(z_0)|[/math] strebt für steigende [math]n[/math] gegen unendlich. Solche Startwerte werden dann der Fatou-Menge zugeordnet. Die Fatou-Menge zu einer gegebenen Funktion [math]f[/math] wird mit [math]F(f)[/math] abgekürzt.
• Die Iteration führt unter dem Startwert [math]z_0[/math] zu einer instabilen Dynamik. D.h. [math]|f^n(z_0)|[/math] bleibt beschränkt für steigende [math]n[/math]. Solche Startwerte werden dann der Julia-Menge zugeordnet. Die Julia-Menge zu einer gegebenen Funktion [math]f[/math] wird mit [math]J(f)[/math] abgekürzt.

Man sieht sofort, dass [math]J(f) = \mathbb{C}\setminus F(f) = F(f)^c[/math] und somit [math]J(f) \cup F(f) = \mathbb{C}[/math]. Aufgrund dieser Eigenschaft wird sich in diesem Artikel aussließlich auf die Julia-Menge bezogen. Eine Definition der Julia-Menge geschieht über den Abschluss ihrer abstoßenden periodischen Punkte in Abhängigkeit von der gegebenen Funktion [math]f[/math]. Ein Punkt [math]z_0[/math] heißt periodisch falls es ein [math]n \in \mathbb{N}[/math] gibt, sodass [math]z_0 = z_n[/math] gilt. Ein periodischer Punkt [math]z_0[/math] heißt abstoßend, falls [math]|(f^n)'(z_0)| \gt 1[/math] gilt. Formal setzt man also \begin{align*} J(f) = \overline{\left\{z \in \mathbb{C} \big| z\ \text{ist abstoßender periodischer Punkt} \right\}}. \end{align*} Für Polynome mit einem Grad [math]\geq 2[/math] kann die Definition vereinfacht werden zu \begin{align*} J(f) = \partial\left\{z \in \hat{\mathbb{C}} \big| \lim\limits_{t \rightarrow \infty} |f^t(z)|<\infty \right\}. \end{align*}

Grundlegende Eigenschaften

Julia-Mengen können sowohl zusammenhängend als auch nicht zusammenhängend sein.

2. [math] J(f_c)[/math] und [math]J(f_ c¯) [/math] liegen symmetrisch zur imaginären Achse.

Chaotisch:

Sei [math] f[/math] ein Polynom vom Grad ≥ 2 mit der Julia-Menge. Dann ist [math] f[/math] auf der Julia-Menge chaotisch.

Auffällig ist auch, dass es bereits bei kleinen Änderungen von z, zu einem anderen Verhalten kommt.

Julia-Menge eines beliebigen Polynoms:

Die Julia-Menge eines Polynoms [math]f [/math] vom Grad ≥ 2 ist nichtleer und kompakt.

Julia-Mengen von quadratischen Polynomen

Julia-Mengen von quadratischen Polynomen sind besonders interessant.

Man nehme beispielsweise:

[math] f_c: ℂ → ℂ[/math]

[math] z → z^2+c[/math]

Wenn man nun für c=0 einsetzt, kommt man auf folgendes:

[math] f(z)=z^2+c[/math]

Hier gilt:

[math] f(z)=z^2[/math]

K(f) = { z| |z| ≤ 1 } und J(f) = {z ∈ ℂ| |z| = 1 }

Zu erwähnen sei auch, dass [math] f_c[/math] für c = 0 als Julia-Menge den Einheitskreis besitzt.

Julia-Menge für c = 0

Setzt man jetzt für c andere Werte ein, verändert sich die Julia-Menge.

1	[math] f(z)=z^2+1[/math]	[math] z_0 = 0 : f_1(z_0) = 1 [/math]
		[math] f_1 ²(0)=2[/math]
		[math] f_1 ³ (0)= 5[/math]
-1	[math] f(z)=z^2-1[/math]	[math] z_0 = 0 : f_{-1}(z_0) = - 1 [/math]
		[math] f_{-1} ²(0)=2[/math]
		[math] f_{-1} ²(0)=-5[/math]

Um die Veränderung der Julia- Mengen in Zusammenhang mit anderen c- Werten besser nachzuvollziehen, kann man sich dieses Bild anschauen:

[3]

Hier kann man nochmal genau sehen, wie aus dem Einheitskreis bei c=0, bei veränderten c- Werten wie beispielsweise c=-0.4 c=-0.8 und c=-1, andere kreisförmige Körper entstehen.

Symmetrie:

Für die Julia-Menge [math] J(f_c)[/math] von [math]f_{n+1}(z)=z_n^2+c[/math] gilt:

1. [math] J(f_c)[/math] ist punktsymmetrisch zum Ursprung: [math]z \in\ J(f_c) ⇔ -z \in\ J(f_c)[/math]

Beweis.	[math] f_{n+1}(-z)=(-z)^2+c=f_{n+1}(z) , [/math]
	[math] (f_{n+1})^k(-z)=(f_{n+1})^{n-1}(f_{n+1}(-z))=(f_{n+1})^{n-1} (f_{n+1}(z))=(f_{n+1})^k(z)[/math]

2. [math] J(f_c)[/math] und [math]J(f_ \overline {c}) [/math] liegen symmetrisch zur imaginären Achse.

Graphische Darstellung

Julia-Menge mit c=-0.6+0.6i erzeugt durch den nebenstehenden Code

Julia-Menge mit c=-0.8+0.4i erzeugt durch den nebenstehenden Code

Zur graphischen Darstellung von Julia-Mengen von einem ausgehenden Startwert [math] z_0 \in \mathbb{C}[/math] wird eine Farbe eines Punktes danach gewählt, wie viele Iterationen notwendig waren, bis [math]|z_n| \geq m \geq 2[/math] ([math]m \in \mathbb{N}[/math] beliebig), da im Allgemeinen die Iterationen für alle [math]z_0[/math] mit [math]|z_0| \geq 2[/math] divergieren. Die Wahl von [math]m= 2[/math] ist grundsätzlich möglich, jedoch werden bei einer größeren Wahl von [math]m[/math] (z.B.[math]m=1000[/math]) qualitativ hochwertigere Bilder ausgegeben . Ist nach einer vorgegebene Iterationszahl [math]n[/math] ein Punkt betragsmäßig kleiner als [math]m[/math] so wird angenommen, dass der Punkt konvergiert. Diese Punkte werden in der Regel dunkel gefärbt, dementsprechend werden Punkte die schneller Konvergieren heller gefärbt. Der nachfolgende Python-Code stellt für einen gegebenen Punkt [math]c[/math] nach [math]n[/math] Iterationen die gewünschte Julia-Menge dar.

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import os 
from matplotlib import cm
from collections import OrderedDict

my_path = os.path.abspath(__file__)

start_time = time.time()

def Julia(f, zmin, zmax, m, n, tmax=256):
    x1 = np.linspace(zmin.real, zmax.real, n)
    y1 = np.linspace(zmin.imag, zmax.imag, m)

    X, Y = np.meshgrid(x1, y1)

    Z = X + 1j * Y

    J = np.ones(Z.shape) * tmax

    for _ in range(tmax):
        mask = np.abs(Z) <= 2.
        Z[mask] = f(Z[mask])
        J[~mask] = J[~mask] - 1.
    
    return J

def f1(z, c=-0.8 + 0.2j):
    return z**2 + c

zmin = -1.3 - 1j * 1.3
zmax = 1.3 + 1j * 1.3
J = Julia(f1, zmin, zmax, m=1024, n=1024)
# save array J as a PNG color image
name = "testjulia2.png"
cmap = cm.get_cmap("nipy_spectral")
plt.imsave(my_path + name, J, cmap=cmap, origin="lower")

Hierbei wird als Funktionen [math]f[/math] ein Polynom zweiten Grades gewählt, also [math]f=z^2+c[/math]. Das Paket numpy wird verwendet um die nötigen Berechnungen effizient in vektorisierter Form zu lösen anstatt diese aufwendig mithilfe von Schleifen zu berechnen.

Mandelbrot-Menge

Definition über die Julia-Mengen

Die Mandelbrotmenge wurde zur Klassifizierung der Julia-Mengen definiert. Sie umfasst die Teilmenge der komplexen Zahlen, für welche die Julia Menge zusammenhängend ist. Die Mandelbrotmenge lässt sich rekursiv, wie folgt definieren:

[math] M=\{c\in \mathbb{C}\mid z_{n+1}=z_n^2+c \text{ bleibt beschränkt } \forall n\in \mathbb{N} [/math] mit [math]z_0 = 0 [/math]

Um nun für bestimmte Werte [math]c\in\mathbb{C}[/math] zu bestimmen, ob sie in der Mandelbrotmenge enthalten sind, führt man [math]n\in\mathbb{N}[/math] Iterationen durch. Wenn gilt [math]\mid f^n_c(0)\mid \gt 2[/math], so färbt man den entsprechenden Punkt weiß, er liegt also nicht in [math]M[/math]. Ansonsten färbt man ihn schwarz. Desto größer [math]n[/math] gewählt wird, desto genauer wird das Bild, dass man erhält. In der Mathematik sind theoretisch beliebige Genauigkeiten möglich, dies führt zu den faszinierenden graphischen Darstellungen der Mandelbrotmenge, wenn man weiter reinzoomt.

Abhängig von der Definition der Juliamenge lässt sich die Mandelbrotmenge, wie folgt definieren:

[math]M=\{c\in \mathbb{C}\mid J(f) \text{ ist zusammenhängend}\}[/math]

Weitere Definitionen der Mengen sind:

[math] M=\{c\in\mathbb{C}\mid f^n_c(0)\not\to\infty\text{, wenn } n\to \infty\}=\{c\in\mathbb{C}\mid (z_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{ ist beschränkt}\}[/math]

Diese Darstellungen lassen sich mithilfe der oberen Definition beweisen.

Grundlegende Eigenschaften

Grenzverhalten ausgewählter Funktionen

Für verschiedene Punkte [math]c\in\mathbb{C}[/math] lassen sich vier verschiedene Grenzverhalten beobachten:

• Konvergenz gegen einen Punkt
• Die Glieder bilden einen Zyklus mit zwei oder mehr Werten
• chaotisches aber beschränktes Verhalten der Glieder
• Divergenz gegen unendlich

Ein Punkt [math]c\in\mathbb{C}[/math] ist in [math]M[/math] falls er eines der ersten drei Grenzverhalten aufzeigt.

Betrachten wir das Grenzverhalten der Funktion [math]z_{n+1}=z_n^2+c[/math]

Parameter (c)	Folgeglieder (z_2, z_3, z_4,...)	Grenzverhalten	Ist c in M?
1	2, 5, 26,...	bestimmte Divergenz gegen [math]\infty[/math]	[math]1\notin M[/math]
0	0, 0, 0,...	Konvergenz gegen 0	[math]0\in M[/math]
-1	0, -1, 0,...	Zweierzyklus	[math]-1\in M[/math]
i	-1+i, -i, -1+i,...	Zweierzyklus	[math]i\in M[/math]
-1,5	0,75, [math] -\frac{15}{16}[/math], [math] -\frac{159}{256}[/math],...	Chaos (beschränkt)	[math]-1,5\in M[/math]
-2	2, 2, 2,...	Konvergenz gegen 2	[math]2\in M[/math]
0,25	[math] \frac{5}{16}[/math], [math] \frac{89}{256}[/math], [math] \frac{24305}{65536}[/math],...	Konvergenz gegen 0,5	[math]0,25\in M[/math]

Von Connelly (Diskussion · Beiträge), Gemeinfrei, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16088

M ist kompakt

Die Mandelbrotmenge ist abgeschlossen, da ihr Komplement offen ist. Außerdem liegt sie innerhalb eines Kreises um den Ursprung mit Radius 2, daraus folgt Beschränktheit.

[math]M\subset B_2(0)\subset \mathbb{C}[/math]

Nach dem Satz von Heine-Borel folgt somit Kompaktheit.

M ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse

Diese Tatsache lässt sich leicht anhand der Bilder erkennen. Doch auch bei Betrachtung der mathematischen Grundlagen kann dieser Umstand leicht gezeigt werden. Wir wollen also zeigen, dass wenn [math]a+bi=c\in M[/math] ist, auch [math]a-bi=\overline c \in M[/math] ist.

Betrachten wir die Entwicklung der rekursiven Gleichung mit [math]c_1[/math] und [math]\overline c_1[/math]

[math]n[/math]	[math]z_{n+1}=z_{n}+c[/math]	[math]z_{n+1}=z_{n}+\overline c[/math]
1	[math]0+a+bi[/math]	[math]0+a-bi[/math]
2	[math](a+bi)^2+a+bi=(a^2-b^2+a)+i(b+2ab)[/math]	[math](a-bi)^2+a-bi=(a^2-b^2+a)-i(b+2ab)[/math]
3	[math]((a^2-b^2+a)+i(b+2ab))^2 + a + bi \\= (a^2-b^2+a)^2-(b+2ab)^2+a+i(2((a^2-b^2+a)(b+2ab)+b)) [/math]	[math]((a^2-b^2+a)-i(b+2ab))^2 + a - bi \\= (a^2-b^2+a)^2-(b+2ab)^2+a-i(2((a^2-b^2+a)(b+2ab)+b)) [/math]
n	[math] Re(z_n)+i*Im(z_n)[/math]	[math] Re(z_n)-i*Im(z_n)[/math]

Wir sehen hier, dass für [math]z_{n+1}=z_n+c[/math] und [math]\overline{z_{n+1}}=z_n+\overline c[/math] gilt: [math]Re(z_n)=Re(\overline z_n) [/math] und [math]Im(z_n)=Im(\overline z_n) [/math] . Die Beträge sind also identisch und Realteil und Imaginärteil entsprechen einander. Daraus lässt sich folgern, wenn ein Werte nicht gegen unendlich divergiert, so auch nicht sein komplex konjugierter Wert. Somit ergibt sich:

[math]a+bi=c_1\in M\rightarrow a-bi=\overline c_1 \in M[/math]

Also entsteht ein achsensymmetrisches Bild.

M ist zusammenhängend

Diese Tatsache wurde 1984 von Adrien Douady und John Hamal Hubbard bewiesen. Ob sie auch lokal zusammenhängend ist, ist noch eine offene Frage.

Graphische Darstellung

Es gibt verschiedene farbliche Visualisierungen der Mandelbrotmenge, aber nach Konvention sind alle Punkte, die zur Mandelbrotmenge dazugehören, schwarz eingezeichnet, d.h. alle [math]c[/math], für die die Folge [math]z_{n}[/math] beschränkt bleibt. Die sich so ergebende Menge wird auch als »Apfelmännchen« bezeichnet, was sich einem erschließt, wenn man den Kopf um 90 Grad nach links neigt. Bei näherer Betrachtung der Mandelbrotmenge erkennt man, dass sich die Struktur des Apfelmännchens am Rand der Menge in kleinerer Ausführung wiederholt.

Alles, was nicht schwarz eingefärbt ist, gehört nicht zur Mandelbrotmenge. Die verschiedenen Farbbereiche um die Mandelbrotmenge herum geben an, wie schnell die Folge für ein [math]c[/math] in dem jeweiligen Bereich divergiert.

Auf Geogebra hat man die Möglichkeit, sich das Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten der Folge [math]z_{n}[/math] für verschiedene [math]c[/math] darstellen zu lassen. Zudem werden durch Schraffieren auf der komplexen Ebene alle zur Mandelbrotmenge zugehörigen Punkte sichtbar. Allerdings treten bei dem Programm Rundungsfehler auf, z.B. scheint bei Geogebra die Folge für [math]c=i[/math] zu divergieren, obwohl man berechnen kann, dass sie für [math]i[/math] beschränkt bleibt.

Geschichte

Fraktale waren schon lange vor dem französischen Mathematiker Benoît B. Mandelbrot (1924-2010) ein untersuchtes Teilgebiet der Mathematik. So veröffentlichte der schwedische Mathematiker Helge von Koch (1870-1924) seine berühmte Koch-Kurve (auch »Schneeflockenkurve«) bereits 1904 – noch früher, im Jahr 1890, stellte der italienische Mathematiker Guiseppe Peano (1858-1932) die Peano-Kurve vor. Beides sind Beispiele für Fraktale, aber erst 1975 gab Mandelbrot solchen Gebilden schließlich einen Namen (abgeleitet aus dem Lateinischen »fractus« = gebrochen), weshalb er auch »Vater der Fraktale« genannt wird.

1967 befasste er sich mit der Frage, wie man die Länge von Großbritanniens Küste, ebenfalls einem Fraktal, messen könne. Dabei stieß Mandelbrot auf das Problem, unterschiedliche Ergebnisse zu bekommen, je nachdem wie genau er vorging und wie stark er manche feinere Ausbuchtungen bei der Messung vereinfacht nur als glatte Kurve einberechnete.

1980 veröffentlichte er schließlich seine Arbeit über die Mandelbrotmenge, deren Ursprung in den Julia-Mengen liegt, die schon 1905 von Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Schon zwei Jahre vor dieser Veröffentlichung gab es erste graphische Darstellungen der Mandelbrotmenge am Computer.

Weblinks

https://www.youtube.com/watch?v=lO1B2uA4l38 -Eine Dokumentation über Fraktale, die unter anderem auch den kommerziellen Erfolg der Mandelbrot-Menge zeigt

Autoren

• Mansur Daschaew
• Hannah Otte
• Selin Koparan
• Danielle Eitelmann