Konstruktion der Reellen Zahlen

Quellen

• Mathematik, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-662-56740-1, S.190, 1053, 1173
• Höhere Mathematik, Verlag Harri Deutsch, ISBN: 978-3-8171-1872-4, *73.10,74.1,81.13*
• Grundwissen Mathematikstudium, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-8274-2308-5, S.297, 772
• Lexikon der Mathematik BAND:1, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN: 3-8274-0303-0, S.292ff.
• Das Rätsel von Pierre de Fermat, Librero, ISBN: 978-90-8998-719-8, S.95, 107, 113, 132
• Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-8351-0123-4, S.243
• dtv-Atlas der Mathematik Band 1, Dtv, ISBN: 3-423-03007-0, S.61
• Rechnen und Mathematik, Bertelsmann Lexikon-Verlag, Buch-Nr. 1599'1180, S.447

Texte noch Einbinden

* VL1:

Die Anordnungsaxiome: Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit einer Teilmenge [math]P \subset K [/math], die die Axiome O1 und O2 erfüllen. Statt a \in P schreiben wir a>0, sprich: "a positiv".

O1 Für jedes a \in K gilt genau eine der folgenden Aussagen:

i)	[math]a\in P[/math]	a>0
ii)	a = 0	a = 0
iii)	[math]-a\in P[/math]	-a>0

O2

[math]a,b\in P \Rightarrow a+b, ab \in P || a,b \gt 0 \Rightarrow a+b\gt 0 \land ab\gt 0 [/math]

Es sei M eine Teilmenge des angeordneten Körpers K. Ein Element <math>s\in K<\math> heißt Supremum vom M, falls gilt:

• s ist eine obere Schranke von M
• Ist t eine obere Schranke von M, so folgt: <math> t \geqq s <\math>

D.h. s ist die "kleinste obere Schranke" von M.

Eine Folge Reeller Zahlen ist eine Abbildung <math> a:\mathbb{N} \to \mathbb{Q} <\math>. Wir schreiben <math> a=(a_n)_n \in \mathbb{N} <\math>.

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, falls gilt: <math> \forall ε>0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall m,n \ge n_0 : |a_n - a_m|<ε

• (a_n)_n mit a_n = n+1 es gilt <math>|a_m - a_n|=|m-n|\ge 1 <\math> für <math>m \neq n<\math>
• (d_n)_n mit d_n = 1/n ist eine Cauchy-Folge. Sei ε>0 und <math>N \in \mathbb{N}<\math> mit <math>1/N \leq ε<\math>. Wenn m>n>N |d_m - d_n|=|1/m - 1/n|=1/n - 1/m < 1/N - 1/m < ε.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Die Umkehrung gilt nicht in <math>\mathbb{Q}<\math>! (Aber in <math>\mathbb{R} \lor \mathbb{C}<\math>)

* VL2:

Sei C die Menge der Cauchy-Folgen auf <math>\mathbb{Q}<\math>.

Eigenschaften von Cauchy-Folgen

Seien <math> (x_n)_n\in\mathbb{N},(y_n)_n\in\mathbb{N} \in C <\math>. Dann gilt: a) <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> ist beschrankt. b) <math> (x_n + y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math> c) <math> (x_n * y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math> d) Ist <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge <math>\Rightarrow \exists ε>0, ε\in\mathbb{Q}, N\in\mathbb{N}<\math> entweder <math>x_n\geq ε \forall n \geq N \lor x_n\leq -ε \forall n \geq N<\math> e) ISt <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge, <math>x_n\neq 0 \forall n\in \mathbb{N} \Rightarrow ((x_n)^(-1))\in C <\math>

Konstruktion der Menge <math>\mathbb{R}<\math> als Körper

Zwei Cauchy-Folgen <math> (x_n)_n\in\mathbb{N},(y_n)_n\in\mathbb{N} <\math> heißen äquivalent (x~y), falls <math> x_n - y_n \to 0<\math>. Definition <math>\mathbb{R}<\math> := <math>\mathbb{R}={[(x_n]|(x_n)_n\in\mathbb{N} \in C} \widehat{=} "reellen Zahlen"<\math>. Eigenschaften: a) (<math>\mathbb{R}<\math>, +) ist abelsche Gruppe b) (<math>\mathbb{R}\{0}<\math>, *) ist abelsche Gruppe c) Es gilt das Distributivgesetz d) (<math>\mathbb{R}<\math>, +, *) ist ein Körper