Konstruktion der Reellen Zahlen

Quellen

• Mathematik, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-662-56740-1, S.190, 1053, 1173
• Höhere Mathematik, Verlag Harri Deutsch, ISBN: 978-3-8171-1872-4, *73.10,74.1,81.13*
• Grundwissen Mathematikstudium, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-8274-2308-5, S.297, 772
• Lexikon der Mathematik BAND:1, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN: 3-8274-0303-0, S.292ff.
• Das Rätsel von Pierre de Fermat, Librero, ISBN: 978-90-8998-719-8, S.95, 107, 113, 132
• Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-8351-0123-4, S.243
• dtv-Atlas der Mathematik Band 1, Dtv, ISBN: 3-423-03007-0, S.61
• Rechnen und Mathematik, Bertelsmann Lexikon-Verlag, Buch-Nr. 1599'1180, S.447

Texte noch Einbinden/Zusammentragen/Verbessern

VL1:

Die Anordnungsaxiome: Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit einer Teilmenge [math]P \subset K [/math], die die Axiome O1 und O2 erfüllen. Statt a \in P schreiben wir a>0, sprich: "a positiv".

O1 Für jedes a \in K gilt genau eine der folgenden Aussagen:

i)	[math]a\in P[/math]	a>0
ii)	a = 0	a = 0
iii)	[math]-a\in P[/math]	-a>0

O2

[math]a,b\in P \Rightarrow a+b, ab \in P || a,b \gt 0 \Rightarrow a+b\gt 0 \land ab\gt 0 [/math]

Es sei M eine Teilmenge des angeordneten Körpers K. Ein Element <math>s\in K<\math> heißt Supremum vom M, falls gilt:

• s ist eine obere Schranke von M
• Ist t eine obere Schranke von M, so folgt: <math> t \geq s <\math>

D.h. s ist die "kleinste obere Schranke" von M.

Eine Folge Reeller Zahlen ist eine Abbildung <math> a:\mathbb{N} \to \mathbb{Q} <\math>. Wir schreiben <math> a=(a_n)_n \in \mathbb{N} <\math>.

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, falls gilt: <math> \forall ε>0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall m,n \ge n_0 : |a_n - a_m|<ε

• (a_n)_n mit a_n = n+1 es gilt <math>|a_m - a_n|=|m-n|\ge 1 <\math> für <math>m \neq n<\math>
• (d_n)_n mit d_n = 1/n ist eine Cauchy-Folge. Sei ε>0 und <math>N \in \mathbb{N}<\math> mit <math>1/N \leq ε<\math>. Wenn m>n>N |d_m - d_n|=|1/m - 1/n|=1/n - 1/m < 1/N - 1/m < ε.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Die Umkehrung gilt nicht in <math>\mathbb{Q}<\math>! (Aber in <math>\mathbb{R} \lor \mathbb{C}<\math>)

VL2:

Sei C die Menge der Cauchy-Folgen auf <math>\mathbb{Q}<\math>.

Eigenschaften von Cauchy-Folgen

Seien <math> (x_n)_n\in\mathbb{N},(y_n)_n\in\mathbb{N} \in C <\math>. Dann gilt: a) <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> ist beschrankt. b) <math> (x_n + y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math> c) <math> (x_n * y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math> d) Ist <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge <math>\Rightarrow \exists ε>0, ε\in\mathbb{Q}, N\in\mathbb{N}<\math> entweder <math>x_n\geq ε \forall n \geq N \lor x_n\leq -ε \forall n \geq N<\math> e) ISt <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge, <math>x_n\neq 0 \forall n\in \mathbb{N} \Rightarrow ((x_n)^(-1))\in C <\math>

Konstruktion der Menge <math>\mathbb{R}<\math> als Körper

Zwei Cauchy-Folgen <math> (x_n)_n\in\mathbb{N},(y_n)_n\in\mathbb{N} <\math> heißen äquivalent (x~y), falls <math> x_n - y_n \to 0<\math>. Definition <math>\mathbb{R}<\math> := <math>\mathbb{R}={[(x_n]|(x_n)_n\in\mathbb{N} \in C} \widehat{=} "reellen Zahlen"<\math>. Eigenschaften: a) (<math>\mathbb{R}<\math>, +) ist abelsche Gruppe b) (<math>\mathbb{R}\{0}<\math>, *) ist abelsche Gruppe c) Es gilt das Distributivgesetz d) (<math>\mathbb{R}<\math>, +, *) ist ein Körper

dtv-Atlas Mathematik

Def1: Eine Folge (a_n) heißt Nullfolge, wenn lim_n->\infty a_n = 0 gilt. Def2: Eine Folge (a_n) heißt Fundamentalfolge (FF) oder Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε>0 ein n_1 \in \mathbb{N} gibt, sodass d(a_n,a_m)<ε für alle n\geq n_1 und m\geq n_1 (Abb.1) Bem: Allgemeiner kann für topologische Gruppen die Konvergenz gegen a auch so formuliert werden, dass es zu jeder Umgebung des Nullelements ein n_0 gibt, sodass für n\geq n_0 alle Differenzen a-a_n in dieser Umgebung liegen. Bei der FF liegen alle Differenzen a_n - a_m für n\geq n_1 und m\geq n_1 in einer solchen Umgebung. Satz: Jede konvergente Folge ist eine FF. BW: Ist ε>0 vorgegeben, so ist auch ε/2>0 und es gibt wegen der Konvergenz ein n_1, sodass |a-a_n| < ε/2 für alle n \geq n_1. Dann gilt wegen der Dreiecksungleichung |a_n-a_m|=|(a_n - a)+(a-a_m)|\leq |a-a_n|+|a-a_m|< ε/2 + ε/2 = ε für alle n\geq n_1 und m\geq n_1. \Box Die zusätzliche topologische Struktureigenschaft für die Erweiterung der <math>\mathbb{Q}<\math> soll jetzt die Forderung sein, dass in der vervollständigten Menge jede FF konvergiert. Ein Raum mit dieser Eigenschaft nennt man vollständig. Die Vervollständigung von <math>\mathbb{Q}<\math> heißt vollständige Hülle von <math>\mathbb{Q}<\math>.

Konstruktion der vollständigen Hülle von <math>\mathbb{Q}<\math>

Man könnte zunächst daran denken, die FF selbst als Elemente der zu konstruierenden Menge zu verwenden. Doch zeigt schon die Betrachtung konvergenter FF, dass es jeweils beliebig viele Folgen mit gleichem Grenzwert (Limes) gibt. Sind (a_n) und (b_n) zwei solcher Folgen, so ist allerdings (a_n - b_n) eine Nullfolge. Dies führt zu einer Klasseneinteilung in der Menge aller FF durch die Einführung einer Äquivalentsrelation. Wir bezeichnen nun den Abschluss der <math>\mathbb{Q}<\math> nun als <math>\mathbb{Q}\bar<\math>. Somit kann man <math>\mathbb{Q}\bar<\math> anordnen und durch einen Absolutbetrag einführen, durch den in <math>\mathbb{Q}\bar<\math> eine Metrik und damit eine topologische Struktur eingeführt werden kann, durch die <math>\mathbb{Q}\bar<\math> die Eigenschaften einer topologischen Gruppe erhält. Es zeigt sich, dass jede FF in <math>\mathbb{Q}\bar<\math> konvergiert. <math>\mathbb{Q}\bar<\math> ist die gesuchte vollständige Hülle von <math>\mathbb{Q}<\math>.

Einbettug von <math>\mathbb{Q}<\math> in <math>\mathbb{Q}\bar<\math>

Die abbildung i:<math>\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}\bar<\math> definiert durch i(p)=[(p,p,p,...)] ist eine injektive strukturverträgliche Abbildung. Strukturverträglichkeit bedeutet hier Verträglich mit der Gruppenstruktur von (<math>\mathbb{Q}<\math>,+) und der topologischen Struktur. Aus der Konstruktion von <math>\mathbb{Q}\bar<\math> ergibt sich auch die universelle Eigenschaft von i. Denn ist M irgendeine Menge mit den geforderten Strukturmerkmalen, und lässt sich <math>\mathbb{Q}<\math> in M einbetten durch die strukturverträgliche Abbildung f:<math>\mathbb{Q} \to M<\math>, so kann zunächst gefolgert werden, dass (f(a_n)) FF in M ist, wenn (a_n) FF in <math>\mathbb{Q}<\math> ist. (f(a_n)) konvergiert wegen den Struktureigenschaften von M dann gegen ein Element <math>r' \in M<\math>. Die Abbildung g:<math>\mathbb{Q}\bar \to M<\math> definiert durch g([a_n])= r' bettet dann <math>\mathbb{Q}\bar<\math> in M ein, und es ist <math>f = g \circ i<\math>. <math>\mathbb{Q}\bar<\math> is tdamit die kleinste <math>\mathbb{Q}<\math> umfassende Menge, in der jede FF konvergiert, und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Isomorphie von <math>\mathbb{Q}\bar<\math> und <math>\mathbb{R}<\math>

Die topologische Struktur von <math>\mathbb{Q}\bar<\math> heißt reelle Topologie i Unterschied zur sogenannten raationalen Topologie von <math>\mathbb{Q}<\math>. Durch [(a_n)]*[(b_n)]:=[(a_n * b_n)] und [(a_n)]^(-1) :=[((a_n)^(-1))] für <math>a_n \neq 0<\math> lässt sich die algebraische Struktur von <math>\mathbb{Q}\bar<\math> zu einer Körperstruktur erweitern derart, dass <math>\mathbb{R} und \mathbb{Q}\bar<\math> bijektiv unter Erhaltung aller Strukturmerkmale aufeinander abgebildet werden können. Ist etwa (a_n) eine FF in <math>\mathbb{Q}<\math>, so gibt es stets eine äquivalente monoton steigende Folge (b_n). <math>\cup A_b_n <\math> ist dann ein offener Anfang in <math>\mathbb{Q}<\math> und φ:<math>\mathbb{Q}\bar \to \mathbb{R}<\math> definiert durch φ([a_n])=<math>\cup A_b_n <\math> eine bijektive strukturverträgliche Abbildung.

Springer-Taschenbuch der Mathematik

Cauchykriterium. Eine reelle Zahlenfolge konvergiert genau dann gegen eine reelle Zahl, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Rechnen und Mathematik

Es gilt: <math><a_n> ist Cauchyfolge \Leftrightarrow <a_n> ist konvergent<\math>