Benutzer:Rk192

Berechnung von Homologie via Smith Normalform

Smith Normalform

Die Smith Normalform einer nicht notwendig quadratischen Matrix [math] M [/math] über einem Hauptidealring [math] R [/math] ist eine Matrix der Gestalt

[math] S = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & \dots& & 0 & & \dots & 0 \\ 0 & \alpha_2 & & & 0 & \dots & & 0 \\ \vdots & & \ddots & & & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \alpha_{n-1} & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & \alpha_r & 0 & \dots & 0\\ \vdots & & & & & \ddots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}, [/math]

sodass invertierbare Matrizen [math] U,V [/math] existieren mit

[math] S = UMV. [/math] Man nennt die [math] \alpha_i [/math] die Elementarteiler von [math] M [/math].

Es ist Aufgabe der Linearen Algebra Vorlesung, die Existenz und Eindeutigkeit der sogenannten Elementarteiler [math] \alpha_i [/math] bis auf Multiplikation mit Einheiten des Rings [math] R [/math] einer solchen Smith Normalform über Hauptidealringen im Allgemeinen zu zeigen und es sei hier nur darauf verwiesen. Als eines der zentralen Resultate, nachdem man die Smithnormalform und ihre Existenz und Eindeutigkeit gezeigt hat ist die Klassifikation von endlich erzeugten Moduln über Hauptidealringen.

Klassifikationssatz

Sei [math] A [/math] ein endlich erzeugter Modul über einem Hauptidealring [math] R [/math] und [math] S = \operatorname{diag}(\alpha_1,\alpha_r,0,\dots,0) == Was ist Homologie? == Eine Homologie ist ein mathematisches Objekt und beschreibt die Folge von Gruppen \lt math\gt \operatorname{H}_n [/math], welche etwas an Vorarbeit benötigen um verstanden zu werden.

Die Homologiegruppen

Sei [math]R[/math] ein Hauptidealring.

Komplex:

Zuerst müssen wir verstehen, was ein Komplex von [math]R[/math]-Moduln ist. Ein Komplex ist eine Folge von [math]R[/math]-Moduln [math](A_n)_{n \in \mathbb{Z}}[/math] zusammen mit [math]R[/math]-linearen Übergangsabbildungen [math](d_n:A_n \rightarrow A_{n-1})_{n \in \mathbb{Z}}[/math], sodass

[math]d_n \circ d_{n+1} = 0[/math]

für jedes [math]n \in \mathbb{Z}[/math] gilt. Anders formuliert ist ein Komplex also ein Diagramm

[math]... \longrightarrow A_{n+1} \longrightarrow A_n \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow ...[/math]

von [math]R[/math]-Modulhomomorphismen, wobei zusätzlich

[math]\operatorname{im}(d_{n+1}) \subseteq \operatorname{ker}(d_n)[/math]

für alle Homomorphismen des Diagramms gilt. Oft notieren wir einen Komplex durch [math]A_\bullet[/math], d.h. wir lassen die Übergangsmorphismen weg, wenn sie aus dem Kontext klar sind.

Homologie:

Nun können wir die Homologie eines Komplexes einführen. Sei [math]A_{\bullet}[/math] ein Komplex von [math]R[/math]-Moduln. Die [math]n[/math]-te Homologie von [math]A_{\bullet}[/math] ist

[math] \operatorname{H}_n(A_{\bullet}) := \operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1}) [/math].

Sie ist wohldefiniert, da laut Definition [math]\operatorname{im}(d_{n+1}) \subseteq\operatorname{ker}(d_n)[/math] gilt. Die Homologie ist eine wichtige Invariante von Komplexen, da die [math]n[/math]-te Homologie angibt wie weit der Komplex von

[math]\operatorname{ker}(d_n) = \operatorname{im}(d_{n+1})[/math]

abweicht.