Mandelbrotmenge
Informationen zur Mandelbrotmenge folgen.
Julia-Menge
Hintergrund Mansur
Hallo
Definition Mansur
Grundlegende Eigenschaften Selin
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Julia-Mengen von quadratische Polynomen Selin
Graphische Darstellung Mansur
Mandelbrot-Menge
Definition über die Julia-Mengen Danielle
Die Mandelbrotmenge wurde zur Klassifizierung der Julia-Mengen definiert. Sie umfasst die Teilmenge der komplexen Zahlen, für welche die Julia Menge zusammenhängend ist. Die Mandelbrotmenge lässt sich rekursiv, wie folgt definieren:
- [math] z_{n+1}=z_n^2+c [/math] mit [math]z_0 = 0 [/math]
Abhängig von der Definition der Juliamenge lässt sich die Mandelbrotmenge, wie folgt definieren:
- [math]M=\{c\in \mathbb{C}\mid J_c \text{ ist zusammenhängend}\}[/math]
Weitere Definitionen der Mengen sind:
- [math] M=\{c\in\mathbb{C}\mid f^n_c(0)\not\to\infty\text{, wenn } n\to \infty\}=\{c\in\mathbb{C}\mid (z_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{ ist beschränkt}\}[/math]
Diese Darstellungen lassen sich mithilfe der oberen Definition beweisen. http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws06_07/seminar_fraktale/ausarbeitung_voelkel.pdf
Grundlegende Eigenschaften Danielle
Grenzverhalten ausgewählter Funktionen
Für verschiedene Punkte [math]c\in\mathbb{C}[/math] lassen sich vier verschiedene Grenzverhalten beobachten:
- Konvergenz gegen einen Punkt
- Die Glieder bilden einen Zyklus mit zwei oder mehr Werten
- chaotisches aber beschränktes Verhalten der Glieder
- Divergenz gegen unendlich
Ein Punkt [math]c\in\mathbb{C}[/math] ist in [math]M[/math] falls er eines der ertsen drei Grenzverhalten aufzeigt.
Parameter (c) | Folgeglieder (z_2, z_3, z_4,...) | Grenzverhalten | Ist c in M? |
---|---|---|---|
1 | 2, 5, 26,... | bestimmte Divergenz gegen [math]\infty[/math] | [math]1\notin M[/math] |
0 | 0, 0, 0,... | Konvergenz gegen 0 | [math]0\in M[/math] |
-1 | 0, -1, 0,... | Zweierzyklus | [math]-1\in M[/math] |
i | -1+i, -i, -1+i,... | Zweierzyklus | [math]i\in M[/math] |
-1,5 | 0,75, [math] -\frac{15}{16}[/math], [math] -\frac{159}{256}[/math],... | Chaos (beschränkt) | [math]-1,5\in M[/math] |
-2 | 2, 2, 2,... | Konvergenz gegen 2 | [math]2\in M[/math] |
0,25 | [math] \frac{5}{16}[/math], [math] \frac{89}{256}[/math], [math] \frac{24305}{65536}[/math],... | KOnvergenz gegen 0,5 | [math]0,25\in M[/math] |
M ist kompakt
Die Mandelbrotmenge ist abgeschlossen, da ihr Komplement offen ist. Außerdem liegt sie innerhalb eines Kreises um den Ursprung mit Radius 2, daraus folgt Beschränktheit.
[math]M\subset B_2(0)\subset \mathbb{C}[/math]
Nach dem Satz von Heine-Borel folgt somit Kompaktheit.
M ist spiegelsymmetrisch zur reelen Achse
M ist zusammenhängend
Diese Tatsache wurde 1984 von Adrien Douady und John Hamal Hubbard bewiesen. Ob sie auch lokal zusammenhängend ist, ist noch eine offene Frage.
Graphische Darstellung Hannah
Geschichte Hannah
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