Normen und Metriken

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Norm Definition

Metrik Definition

Bemerkung

Beweis

Zusammenhang von Norm und Metrik

Hierarchie Topologischer Räume

Metrik Beispiele

Von Normen erzeugte Metriken

SNCF-Metrik

Sei [math]X[/math] eine Menge von Punkten in der Ebene und [math] p [/math] ein fester Punkt.

Dann ist die SNCF-Metrik auf [math]X[/math] wie folgt definiert:

[math] d\colon X\times X\to\mathbb R [/math]
[math] d(x,y)=\begin{cases} \|x-y\|&\text{falls } x, y \text{ auf einer Geraden durch } p \text{ liegen, }\\ \|x-p\|+\|p-y\|&\text{sonst}. \end{cases} [/math]


Der Name dieser Metrik leitet sich von der Eisenbahngesellschaft SCNF ab, da diese Metrik in den Kontext des Französischen Eisenbahnnetzes fällt. Nehme man an X seien die Städte Frankreichs, und [math] p [/math] Paris so kann der Abstand, falls es keinen direkt Zug zwischen Stadt [math]x[/math] und [math]y[/math] gibt, deutlich länger werden.

Nicht von Normen erzeugte Metriken

Diskrete Metrik

[math]d(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{für } x = y \\ 1 & \text{für } x\neq y \end{cases}[/math]

Spezielle Metriken

Ultrametrik

Pseudometrik

Nicht-archimedische Metriken

Quasimetrik

Prämetrik

Norm Beispiele

Literatur

Vorlage:Wikipedia-Namensräume

Autoren: Arian Gjini, Alassane, Robin Klotzbücher