Normen und Metriken

Metrik Beispiele

Von Normen induzierte Metriken

Jede Norm die es auf einem Vektorraum gibt induziert wie folgt eine Metrik

[math]d(x, y) \equiv \|x - y\|[/math]

Daher sehen wir, dass jeder normierte VR ein metrischer Raum ist.

Ein weiteres Beispiel ist:

Die SNCF-Metrik

Sei [math]X[/math] eine Menge von Punkten in der Ebene und [math] p [/math] ein fester Punkt.

Dann ist die SNCF-Metrik auf [math]X[/math] wie folgt definiert:

[math] d\colon X\times X\to\mathbb R [/math]

[math] d(x,y)=\begin{cases} \|x-y\|&\text{falls } x, y \text{ auf einer Geraden durch } p \text{ liegen, }\\ \|x-p\|+\|p-y\|&\text{sonst}. \end{cases} [/math]

Der Name dieser Metrik leitet sich von der Eisenbahngesellschaft SCNF ab, da diese Metrik in den Kontext des Französischen Eisenbahnnetzes fällt. Nehme man an X seien die Städte Frankreichs, und [math] p [/math] Paris so kann der Abstand, falls es keinen direkt Zug zwischen Stadt [math]x[/math] und [math]y[/math] gibt, deutlich länger werden.

Nicht von Normen induzierte Metriken

Die Diskrete Metrik

[math]d(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{für } x = y \\ 1 & \text{für } x\neq y \end{cases}[/math]

Autoren

Alassane, Robin, Arian