Hyperbolische Geometrie und Physik - Der Minkowski-Raum

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Einleitung

Rolle der hyperbolischen Geometrie in der Mathematik Historische Entwicklung des Begriffs (insb. Minkowskiraum)

Definition

x \in R^3 (R^4) <<x,y>> = x * gy, g = diag(-1,.., -1, +1)

[math]\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},[/math]

[math]u \cdot v = \eta(u, v),[/math]

Eigenschaften

Konstante Krümmung -1

Metrik d(x,y) = arcosh(<<x,y>>)

Interessante Sätze, Verbindungen zu anderen mathematischen Gebieten?

Rolle in der Physik

In den Anwendungen der Physik nimmt die Zeit die neue 0. Koordinate ein während die restlichen Koordinaten (normalerweise 3) die räumlichen sind ( [math] v=(t,x_1,x_2,x_3)[/math]. In relativistischer Physik sind Längen, Geschwindigkeiten (bis auf die Lichtgeschwindigkeit) und sogar die Gleichzeitigkeit von Ereignissen (so nennen wir Punkte bzw. Vektoren im Minkowskiraum) vom Betrachter abhängig, den wir deshalb immer in den (räumlichen) Ursprung unseres Koordinatensystems setzen, da er natürlich zu sich selbst keinen Abstand beobachtet. Da dies immer so bleibt bewegt er sich entlang der Zeitachse.

Ein wichtiges physikalisches Werkzeug auf Minkowskiräumen ist der Lichtkegel. Um die Darstellung zu vereinfachen wird oft nur eine Raumkoordinate betrachtet, wobei die Zeitachse nach oben und die Raumachse nach rechts zeigt und die Skalierung der Achsen so gewählt wird, dass der Pfad eines Objekts, das sich vom Ursprung aus mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, auf unserer Darstellung, dem sogenannten Minkowski-Diagramm, entlang einer 45°-Gerade bewegt. Diese Geraden (da die Bewegung sowohl in positive als auch negative x-Richtung geschehen kann) bilden einen Doppelkegel, den sogenannten Lichtkegel. Diesen Lichtkegel gibt es natürlich auch für höhere Dimensionen.

Der Licht-Doppelkegel teilt den Minkowskiraum in drei Teile: Die Vektoren/Ereignisse im Inneren des Doppelkegels nennen wir zeitartig, für sie ist [math] \langle v,v\rangle\lt 0 [/math], die Vektoren/Ereignisse am Rand (die Intuitive, nicht die mathematische Version) des Lichtkegels nennen wir lichtartig, für sie ist [math] \langle v,v\rangle=0 [/math]. Diese beiden bilden zusammen die sogenannten kausalen Vektoren/Ereignisse, sie können Einfluss auf das Ereignis im Ursprung haben oder von ihm beeinflusst werden. Das hängt davon ab ob sie zur kausalen Vergangenheit oder Zukunft gehören, also ihr t-Wert kleiner oder größer 0 ist. Die restlichen Vektoren/Ereignisse, die sich also außerhalb des Licht-Doppelkegels befinden nennen wir Raumartig, für sie ist [math] \langle v,v\rangle\gt 0 [/math] sie sind nicht kausal (manchmal ist auch der Ursprung als Raumartig definiert).

Kausalstruktur, Gleichzeitigkeit, (Paradoxien?) Transformationseigenschaften, Boosts (Poincare-Gruppe) Invarianten

Erhellende Bilder?

Zusammenhang mit Poincare Disk/Ball-Modell?

Einzelnachweise und Quellen

letzter Zugriff für alle: 19.09.2021

Autoren

Lela Eigenrauch, Henry Bertels, Elia Fiammengo, Falk Loewner