Hyperbolische Geometrie und Physik - Der Minkowski-Raum

Der Minkowski-Raum

Der Minkowski-Raum ist eines der wichtigsten Mittel zur Darstellung der Relativitätstheorie und deren Beschreibung von Raum und Zeit, da diese die Beschränkungen des Euklidischen Raums überschreitet.

In der Differentialgeometrie werden Minkowski-Räume als Vektorräume der Dimension n+1 mit einer symmetrischen Bilinearform der Signatur (n,1) betrachtet, wohingegen in der Physik hauptsächlich der vierdimensionale Fall behandelt wird. Dieser besitzt die drei Koordinaten des Euklidischen Raums und fügt eine vierte für die Zeit ein, wodurch er zu einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit wird.

Der Minkowski-Raum modelliert die Raumzeit mit einem 4-dimensionalen Vektorraum, auf dem eine Bilinearform definiert wird und der eine konsistente Beschreibung von Relativbewegungen bei invarianter Lichtgeschwindigkeit erlaubt.

Der Einfachheit halber wird hier hauptsächlich das hyperbolische Modell mit vier Dimensionen als Pseudo-Euklidischer Raum (endlich-dimensional mit nicht-ausgearteter quadratischer Form) angeführt. Dieser ist anschaulich gut zu verstehen und nimmt die intuitive Vorstellung der Geometrie auf, was den Zugang erleichtert.

Mathematische Struktur

Definition

Die Minkowski-Raumzeit ist ein 4-dimensionaler reeller Vektorraum [math]\mathcal{M}[/math] mit einer indefiniten, nicht-ausgearteten, symmetrischen Bilinearform [math]g[/math] mit Signatur (3,1).

Die allgemeine Bilinearform auf dem Minkowski-Raum [math]g(x,y) := -x^0y^0+\sum_{i=1}^nx^iy^i[/math] ist in der Minkowski-Raumzeit [math]g(x,y) = - x^0 y^0 + x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3[/math]. [math]g[/math] wird in der Mathematik Lorentzsches inneres Produkt auf [math]\mathcal{M}[/math] genannt

Ebenfalls ist es möglich, die Bilinearform als Wirkung des metrischen Tensors [math]\eta_{\mu,\nu}[/math] auf einer Mannigfaltigkeit aufzufassen, wobei [math]\eta[/math] als Tensor einer Pseudo-euklidischen Metrik der Lorentz'schen Mannigfaltigkeit agiert.

[math]g(x,y)\hat{=}eta^{\mu\nu}x_\mu y_\nu[/math]

[math]\eta = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},[/math]

[math]u \cdot v = \eta(u, v)[/math]

Da das Lorentzsche innere Produkt nicht positiv definit ist, gibt es nicht-triviale Vektoren [math]v[/math] in [math]\mathcal{M}[/math], die [math]g(v,v) = 0[/math] erfüllen.

Die Konvention der Signatur der Metrik von (-,+,+,+) ist nicht festgeschrieben, in anderen Anwendungsbereichen als der Relativitätstheorie wird ebenfalls (+,-,-,-) verwendet.

Geometrie und Hyperboloid-Modell

Der Minkowski Raum kann nicht mit die euclidische oder generalisierte Riemannische Geometrie welches durch die Indefinitheit der Minkowski-Metrik begründet ist.

Hyperboloid Modell [math]H^2[/math]

Insbesondere ist der Minkowski-Raum selbst kein metrischer Raum oder Riemannsche Mannigfaltigkeit. Allerdings enthält er Untermannigfaltigkeiten, die mit Riemannscher Metrik und hyperbolischen Geometrie ausgestattet sind.

Das Hyperboloidmodell ist Äquivalent einer Kugel im euklidischen Raum und dient besonders in der Physik, weshalb es von besonderer Bedeutung ist.

Hier wird das speziellere Hyperboloidmodell für den hyperbolischen Raum erläutert, das als Hyperfläche im Minkowski-Raum definiert ist.

Für eine einfachere Visualisierung wird vorausgesetzt, dass der Minkowski-Raum [math]M^3[/math]dreidimensional definiert ist (analog für [math]M^n \; n\in \mathbb{N}[/math]).

Für viele Anwendungen ist das Modell des hyperbolischen Raums das geeignetste, da es alle relevanten geometrischen Eigenschaften aufzeigt: die Riemannsche Metrik der Untermannigfaltigkeiten, Geodäten, die Abstandsfunktion und Krümmung.

Konstruktion

Konzipiert wird das Modell im dreidimensionalen Minkowski-Raum [math]M^3[/math] oder [math]R^{1,2}[/math], dessen Metrik gegeben ist durch

[math]d(p,q)=-c^2(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2 [/math]

Der Ansatz zum Aufbau vom hyperbolischen Raum [math]H^2[/math] und zur Diskussion dieses Modells beginnt mit einer quadratischen Form

[math]q((x,y,z))=-x^2+y^2+z^2=[x,y,x]\begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}[x,y,x]^t=X^tJX.[/math]

und folgender Bilinearform

[math]für\; alle\; X,Y \in M^3\; [/math][math]p(X,Y):=1/2[q(X+Y)-q(X)-q(Y)]=X^tJY[/math].

Es gilt:

[math] q(X)=p(X,X), [/math]

[math]p(U_i,U_j)=e_i\; für\; i=j [/math]

[math]und\; p(U_i,U_j)=0\; für\; i \ne j\; und\; U_1,...,U_n\; basis\; von\; M^3[/math].

Geraden auf Hyperbeln

Mithilfe der Definitionen können wir einen Hyperboloid mit hyperbolischer Geometrie als folgende Niveaumenge definieren :

[math] H=\left \{ {(x,y,z)\;in\;M^3\; s.d. \;q(x,y,z)=-1, \; und\; x\gt 0} \right \}[/math]

H ist invariant bei Drehungen um die 𝑧-Achse und bei Reflexionen an der vertikalen Ebene durch den Ursprung.

Analytische Eigenschaften

H besitz zwei Zusammenhangskomponenten [math]H+[/math] und [math]H-[/math], die als oberes und unteres Blatt bezeichnet werden. Zudem ist ihr Schnittpunkt mit einer vertikalen Ebene eine Hyperbel (Siehe rechte Grafik).

Der obere Bogen dieser Hyperbel kann mit den hyperbolisch-trigonometrischen Funktionen parametrisiert werden, wie es oft in der Physik eine grundlegend beschreibende Methode ist:

[math] x(u,v)=sinh(u) cos(v) \; y(u,v)=sinh(u) cos(v) \; z(u,v)=cosh(u)[/math]

Das hyperboloide Modell besteht aus dem oberen Bogen der Hyperbel [math]H+[/math], welche mit der Riemannschen Metrik ausgestattet istund aus der Minkowski-Bilinearform des Raums induziert wird.

Das Hyperboloid [math] H^2[/math] selbst ist asymptotisch zum (Licht-)kegel [math]𝑥^2 + 𝑦^2 − 𝑧^2 = 0 [/math] (durch Drehung der Hyperbelachsen).

Hyperboloid und Kegel

Geraden in [math] H^2[/math] sind der Schnittpunkt mit der Ebene, die durch den Ursprung mit der oberen Hälfte der beiden schichtförmigen Hyperboloide [math]q(X) = −1[/math] gehen.

Aus der Erzeugung einer Ebene durch drei Punkte folgt, dass eine eindeutige Gerade durch zwei Punkte von [math]H^2[/math] existiert.

Zwei unterschiedliche Punkte 𝑝 und 𝑞 in [math]H+[/math] werden durch ein einzigartiges geodätisches Segment verbunden 𝛾 außerdem ist 𝛾 eindeutig und längenminimierend.

Ein wichtiger Satz, der sich aus dieser Beobachtung ergibt, lautet: Der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten 𝑝 und 𝑞 in [math]H+[/math] ist gegeben durch

[math]d(p,q)=arcosh(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} )[/math]

endlich ein weiteres relevantes Merkmal dieses Objekts ist, dass obwohl in [math] R^3[/math]eine seite von eine Hyperboloid hat positive Gaußsche Krümmung der Tatsache, dass es innerhalb des Minkowski-Raums liegt schickt eine negative Gaußsche Krümmung von -1 .

Anwendung in der Physik

Wahrnehmung eines Ereignisses vom unbewegten und mit v=0,6c bewegten Beobachter

Die Punkte in [math]\mathcal{M}[/math] werden Ereignisse genannt und man kann ihnen nach Wahl eines Inertialsystems einen relativen Zeitpunkt und Ort zuweisen (ein Inertialsystem ist ein unbeschleunigtes Bezugssystem). Hierbei nimmt die Zeit die 0. Koordinate ein während die restlichen Koordinaten (normalerweise 3) die räumlichen sind, sodass [math] x=(t,x_1,x_2,x_3)[/math]. In relativistischer Physik werden Längen, vergehende Zeit und Geschwindigkeiten von Beobachtern, die sich relativ zueinander unterschiedlich schnell bewegen, unterschiedlich wahrgenommen. Graphisch stellt man dies in einem Minkowski-Diagramm dar, welches zur Vereinfachung nur eine Zeit und eine x-Achse hat. Die Skalierung ist so gewählt, dass Lichtgeschwindigkeit einer Steigung von 1 entspricht. Der Beobachter dieses Systems ist hierbei immer bei [math] x=0 [/math] . Ein zweiter Beobachter, der den Ursprung durchquert und sich mit einer Geschwindigkeit [math] v [/math]relativ zum ersten Beobachter bewegt wird durch neue Achsen [math] x' [/math]und [math] ct' [/math]dargestellt. Für den Winkel zwischen den Achsen der beiden Beobachter gilt: [math] \tan(\alpha)=\frac{v}{c} [/math]. Das Maß der Achsen des bewegten Beobachters wird um [math] \frac{\sqrt{1+\left(\frac{v}{c}\right)^2}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} [/math]skaliert . Ereignisse auf einer Geraden parallel zur x'-Achse nimmt der bewegte Beobachter als gleichzeitig wahr, Ereignisse auf einer Geraden parallel zur ct'-Achse als gleichweit entfernt. Dadurch interpretieren sie z.B. den Zeitpunkt desselben Ereignisses unterschiedlich voneinander. Ereignisse auf dem Lichtkegel des Ursprungsereignisses und die Lichtgeschwindigkeit nimmt jedoch jeder Beobachter gleich wahr.

Beide Beobachter nehmen das Ereigniss auf dem Lichtkegel gleich wahr

Eine Lorentz-Transformation erlaubt es rechnerisch vom Inertialsystem (ein gleichmäßig bewegtes Bezugssystem) des ersten zu dem des zweiten Beobachters überzugehen. Dazu definiert man [math] \beta = \frac{v}{c} [/math] und den Lorentz-Faktor [math] \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} [/math]. Dann ist [math] x'=\gamma(x-\beta\cdot ct) [/math]und [math] ct'=\gamma(ct-\beta \cdot x) [/math]. Die Darstellungsmatrizen allgemeiner Lorentztransformationen höherer Raumdimensionen haben z.B. die Form [math] A=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&B\\ \end{pmatrix} [/math], wobei [math] B\in O(n) [/math] eine orthogonale Matrix ist. Übergänge zwischen Inertialsystemen, die bei t=0 übereinstimmen, sogenannte Lorentz-Boosts, haben die Form [math] A=\begin{pmatrix} \cosh(\phi)&\sinh(\phi)&0\\ \sinh(\phi)&\cosh(\phi)&0\\ 0&0&E_{n-1} \end{pmatrix} [/math] , wobei [math] \phi\in\mathbb{R} [/math] und [math] E [/math] die Einheitsmatrix ist. Unter allgemeinen Lorentz-Transformationen bleibt die Minkowski-Bilinearform invariant.

Zeitwahrnehmung im Minkowski-Diagramm: Aus Sicht des unbewegten Beobachters ist bei Ereignis E schon mehr Zeit vergangen als beim bewegten Beobachter

Der Licht-Doppelkegel teilt den Minkowskiraum in drei Teile: Die Vektoren/Ereignisse im Inneren des Doppelkegels heißen zeitartig, für sie ist [math] g(x,x)\lt 0 [/math], die Vektoren/Ereignisse am Rand des Lichtkegels heißen lichtartig, für sie ist [math] g(x,x)=0 [/math]. Diese beiden bilden zusammen die sogenannten kausalen Vektoren/Ereignisse, sie können Einfluss auf das Ereignis im Ursprung haben oder von ihm beeinflusst werden. Das hängt davon ab ob sie zur kausalen Vergangenheit ([math] t\lt 0 [/math]) oder Zukunft ([math] t\gt 0 [/math]) gehören. Die Vektoren/Ereignisse, die sich außerhalb des Licht-Doppelkegels befinden heißen Raumartig, für sie ist [math] g(x,x)\gt 0 [/math]. Sie sind nicht kausal (manchmal ist auch der Ursprung als Raumartig definiert). Da die Minkowski-Bilinearform invariant ist, ist auch die Kausalität unter Lorentz-Transformationen erhalten. [math]\mathcal{M}[/math] besitzt eine Basis aus lichtartigen Vektoren, diese kann jedoch nicht orthogonal sein.

[Führe hier Lorentz Transformation über einen neuen Beobachter von Urpsrungsereignis aus mit nicht0 geschwindigkeit bzgl originalbeobachter ein. Lorentz transformation soll zeitkegel erhalten und "artigkeit" von vektoren bleibt unter lorentz trf erhalten (führe vllt die formeln für geschw. zeit usw. ein statt nur allg. zu bleiben). Weiterhin kann man eine Matrix die eine lorentz trf beschreibt durch eine (-1 & 0\\ 0 & A) erhalten, wobei A in O(n-1) ist. vorzeichen bin ich mir nicht sicher. Poincare bin ich mir nicht sicher, weil das eine Lorentz trf mit einer verschiebung kombiniert ist. Vllt später noch zwillingsparadoxon, dazu dann sagen dass beschl. miteinbezogen werden muss und das erst in ART passiert (out of scope?). Vllt noch Energie-Impuls-viervektor]

Kausalstruktur, Gleichzeitigkeit, (Paradoxien?) Transformationseigenschaften, Boosts (Poincare-Gruppe) Invarianten

Erhellende Bilder?

Zusammenhang mit Poincare Disk/Ball-Modell?

Einzelnachweise und Quellen

letzter Zugriff für alle: 19.09.2021

Autoren

Lela Eigenrauch, Henry Bertels, Elia Fiammengo, Falk Loewner