Zufallsmatrizen - Bohemians und die geheimnisvolle Ordnung im Chaos

Hier entsteht eine tolle Seite ... bis dahin noch etwas Geduld! :D

Zufallsmatrizen

Definition

Eine Zufallsmatrix ist eine Matrix, deren Einträge teils oder ganz zufällig sind.

[math] \frac{N_{f,H} - \int f(\lambda) \, dN(\lambda)}{\sigma_{f, n}} \overset{D}{\longrightarrow} N(0, 1) [/math]

Bohemian Matrices

Inhalt

Galerie

Betaverteilung

Eigenwertdichte von 15 Millionen [math]6\times 6[/math] Matrizen mit Werten aus einer Betaverteilung mit den Parametern [math] \alpha = 0,001, \beta = 0,001 [/math]

Zufällige Matrix mit Einträgen aus diskreter Menge

Eigenwertdichte von 10 Millionen [math]6 \times 6[/math] Matrizen mit Einträgen aus der Menge [math] \{-1, -\frac{1}{1000}, 0, \frac{1}{1000}, 1\} [/math]

Obere Hessenbergmatrix

Eigenwertdichte einer Menge von [math]12 \times 12[/math] oberer Hessenbergmatrizen mit Toeplitz-Struktur und Einträgen aus der Menge [math]\{-1, 0, 1\}[/math]

Tridiagonalmatrix

Eigenwertdichte einer Menge von [math]10 \times 10[/math] Tridiagonalmatrizen mit Einträgen aus der Menge [math]\{-π, π\}[/math]

Feste Matrix mit kontinuierlicher Verteilung in bestimmten Werten (Eigenfish)

Hier wurden Matrizen von der Form [math]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & A \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ B & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/math]

Eigenwertdichte einer Menge von Matrizen

Irgendwas mit π

Trivia (vor oder nach Galerie?)

Zufallsmatrizen können in den unterschiedlichsten, teils überraschenden Themengebieten genutzt werden, um (Natur-)Phänomene zu beschreiben oder Daten zu modellieren. So etwa bei:

• Abständen parkender Autos und von Bäumen im Wald
• Datenkompression, Mobilfunk
• Finanzwirtschaft

Nicht nur in praktischen Anwendungsgebieten werden Zufallsmatrizen benutzt: Auch bei theoretischeren Problemen in der Mathematik, wie dem Beweis der Riemannschen Vermutung, sind Zufallsmatrizen möglicherweise ein vielversprechender Ansatz, näher an eine Lösung zu kommen - bspw. über eine Matrix (von den Wissenschaftlern "Riemannium" getauft), deren Eigenwerte den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion entsprechen.

Quellen und Links

Quellen