Zufallsmatrizen - Bohemians und die geheimnisvolle Ordnung im Chaos
Hier entsteht eine tolle Seite ... bis dahin noch etwas Geduld! :D
Einleitung
Begriffsklärung
Betaverteilung
Bei diesen Matrizen werden alle Einträge zufällig aus einer Betaverteilung mit vorher festgelegten Parametern generiert. Eine Betaverteilung ist eine Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung (https://de.wikipedia.org/wiki/Beta-Verteilung). Dadurch entstehen je nach Wahl der Parameter Linienmuster, auf denen sich die Eigenwerte häufen.
Eigenfish
Hier wird zuerst eine Matrix festgelegt, die meist die Einträge -1,0,1 hat. Dann wird für bestimmte Einträge ein kontinuierliches Intervall festgelegt, aus dem diese zufällig ausgewählt werden. Dabei entstehen interessante Muster, die sehr abstrakt werden können, vor allem wenn das Intervall aus komplexen Zahlen besteht. (s. Bsp in der Galerie)
Obere Hessenbergmatrix
Eine obere Hessenbergmatrix ist ähnlich wie eine obere Dreiecksmatrix, nur dass diese auch Einträge auf der ersten Nebendiagonalen unter der Hauptdiagonalen besitzt. Beispielsweise ist [math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 9 & 10 & 11 \\ 0 & 0 & 12 & 13 \end{pmatrix}[/math] eine obere Hessenbergmatrix. Analog ist [math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ 6 & 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 & 13 \end{pmatrix}[/math] eine untere Hessenbergmatrix.
Tridiagonalmatrix
Eine Tridiagonalmatrix ist sowohl eine obere als auch eine untere Hessenbergmatrix und hat somit nur Einträge auf der Hauptdiagonalen und den beiden angrenzenden Nebendiagonalen. Z.B.:[math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 9 & 10 \end{pmatrix}[/math]
Zufallsmatrizen
Definition
Eine Zufallsmatrix ist eine Matrix, deren Einträge teils oder ganz zufällig sind.
| [math] \frac{N_{f,H} - \int f(\lambda) \, dN(\lambda)}{\sigma_{f, n}} \overset{D}{\longrightarrow} N(0, 1) [/math] |
| Trallala |
|---|
| Test |
Bohemian Matrices
Inhalt
Galerie
Betaverteilung
Eigenwertdichte von 15 Millionen [math]6\times 6[/math] Matrizen mit Werten aus einer Betaverteilung mit den Parametern [math] \alpha = 0{,}001, \beta = 0{,}001 [/math] (Die Eigenwerte wurden an der imaginären Achse gespiegelt)
Eigenwertdichte von 5 Millionen [math]3\times 3[/math] Matrizen mit Werten aus einer Betaverteilung mit den Parametern [math] \alpha = 0{,}01, \beta = 0{,}01 [/math], Verschiebung -0,5, Amplitude 5 (Die Eigenwerte wurden an der imaginären Achse gespiegelt)
Eigenwertdichte von 30 Millionen [math]6\times 6[/math] Matrizen mit Werten aus einer Betaverteilung mit den Parametern [math] \alpha = 0{,}001, \beta = 0{,}01 [/math], Verschiebung -2, Amplitude 5 (Die Eigenwerte wurden an der imaginären Achse gespiegelt)
Zufällige Matrix mit Einträgen aus diskreter Menge
Eigenwertdichte von 10 Millionen [math]6 \times 6[/math] Matrizen mit Einträgen aus der Menge [math] \{-1, -\frac{1}{1000}, 0, \frac{1}{1000}, 1\} [/math]
Zoom in die Mitte des ersten Bildes
Eigenkäfer
Obere Hessenbergmatrix
Tridiagonalmatrix
Feste Matrix mit kontinuierlicher Verteilung in bestimmten Werten (Eigenfish)
Hier wurden Matrizen von der Form [math]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & A \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ B & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/math] verwendet. Die Einträge A und B wurden dabei zufällig aus einem kontinuierlichen Intervall ausgewählt.
Eigenwertdichte von 3 Millionen Matrizen mit [math]A,B \in [][/math]
Eigenwertdichte von 3 Millionen Matrizen mit [math]A,B \in [][/math]
Trivia (vor oder nach Galerie?)
Zufallsmatrizen können in den unterschiedlichsten, teils überraschenden Themengebieten genutzt werden, um (Natur-)Phänomene zu beschreiben oder Daten zu modellieren. So etwa bei:
- Abständen parkender Autos und von Bäumen im Urwald
- Verknüpfung von Neuronen im Gehirn
- Datenkompression, Mobilfunk
- Finanzwirtschaft (Fluktuation von Börsenkursen)
- der Statistik ankommender U-Bahnen in New York
Warum genau es so gut funktioniert, diese doch sehr unterschiedlichen Dinge treffend durch Zufallsmatrizen zu beschreiben, ist überwiegend unbekannt.
Nicht nur in praktischen Anwendungsgebieten werden Zufallsmatrizen benutzt: Auch bei theoretischeren Problemen in der Mathematik, wie dem Beweis der Riemannschen Vermutung, sind Zufallsmatrizen möglicherweise ein vielversprechender Ansatz, zu einer Lösung zu gelangen, bspw. über eine Matrix, von den Wissenschaftlern Riemannium getauft, deren Eigenwerte den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion entsprechen.
Auch Fraktale wie Julia- und Mandelbrotmengen tauchen im Zusammenhang mit Zufallsmatrizen auf.
Quellen und Links
Quellen