Arctic Circle Theorem
In diesem Artikel wollen wir uns mit dem "Arctic Circle"-Theorem beschäftigen. Wir beginnen damit die Überdeckungen von Schachbrettern oder karierten Brettern mit Dominosteinen zu untersuchen. Wir werden das faszinierende Theorem besprechen und schließlich auf mögliche Anwendungen hinweisen.
Schachbretter und Dominosteine
Abgeschnittene Schachbretter
Pfade über das Schachbrett
Die Monsterformel
Aztekendiamant und "Arctic Circle"-Theorem
In der kombinatorischen Mathematik bestehen Aztec-Diamonds der Kardinalität (Ordnung) n aus allen Quadraten, deren Zentrum (x,y), die Gleichung |x|+|y|<=n erfüllen. Die Anzahl wie oft man ein Aztec-Diamond der Ordnung n legen kann ist 2^(n(n+1)/2). Das Theorem sagt nun, dass wenn n größer wird, die Ecken des Diamonds in einer Farbe sind und sich in der Mitte ein perfekter Kreis bildet. Jedes Domino wird genau ein schwarzes und ein weißes Feld treffen. Die Farben werden dann so festgelegt, je nachdem ob rechts, links oder oben, unten weiß oder schwarz ist.
Tanzende Dominosteine
Anzahl der Überdeckungen
Die Anzahl der Überdeckungen beträgt Bn=Fn. Wobei Fn die n-te Fibonaccizahl ist (Verweis auf andere Seite). Dabei ist z.B. B0 = 2 x 0 also 1. Durch Induktion lässt sich nun beweisen, dass IA: B1 = 2 x 1 also F1=1 ist. IS: Wegen der Anzahl der Überdeckungen für Bn=Fn, folgern wir daraus Bn+1. Es gibt zwei Arten wie wir mit dem Überdecken beginnen können. Wir können mit einer horizontalen oder einer vertikalen Überdeckung beginnen. Beim horizontalen haben wir Bn, mit Fn verschiedene Überdeckungen, übrig. Beim Vertikalen Bn-1 mit Fn-1 verschiedenen Überdeckungen. Wenn wir diese zwei nun zusammenfügen erhalten wir für die Anzahl der Überdeckungen: Bn+1=Fn+Fn-1=Fn+1.
Anwendungen in der Physik und Weiterführendes
Atomare Gitter
Quellen
unfertig
Es wird untersucht wie man Domino-Fliesen einer Familie von endlichen Regionen namens Aztekendiamanten legen kann. Jedes Domino hat eine Farbe das in eines der fünf Unterregionen liegt; in den vier äußeren Teilregionen wird jede Kachel mit nahegelegenen Kacheln ausgerichtet, während im fünften, zentralen Teilbereich unterschiedlich ausgerichtete Kacheln nebeneinander existieren. Es wird gezeigt dass, wenn n ausreichend groß ist, die Form des zentralen Teilbereichs willkürlich einem perfekten Kreis des Radius n/sqrt(2) für alle außer einem vernachlässigbaren Anteil der Fliesen nahe kommt. (Random Tiligs Beschreibung)