Zufallsmatrizen - Bohemians und die geheimnisvolle Ordnung im Chaos

Hier entsteht eine tolle Seite ... bis dahin noch etwas Geduld! :D

Begriffsklärung

Hermitesche Matrix

Die Einträge einer hermiteschen Matrix sind komplexe Zahlen. Hermitesche Matrizen gleichen ihren symmetrischen Artgenossen, allerdings muss man beim Spiegeln zusätzlich i durch –i ersetzen: [math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3+i \\ 2 & 5 & 6-i \\ 3-i & 6+i & 7 \end{pmatrix}[/math]

Zufallsmatrizen

Definition

Eine Zufallsmatrix ist eine Matrix, deren Einträge teils oder ganz zufällig sind.

Eigenschaften

Es gibt offensichtlich sehr viele Methoden solche Matrizen auszuwählen, dabei kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Menge, aus der man die Einträge nimmt oder die Symmetrie der Matrizen sehr stark variieren. Wir betrachten nun symmetrische Matrizen, deren Einträge unabhängig voneinander gemäß der Normalverteilung ausgewählt sind. Für den Grenzfall von unendlicher Größe ergeben die Eigenwertabstände dieser Matrizen eine Kurve. Die Klasse der Zufallsmatrizen, deren Eigenwertabstände dieser Kurve folgen, nennt man gaußsches orthogonales Ensemble (GOE). Analog ergeben Eigenwertabstände hermiteschen Zufallsmatrizen eine andere Kurve, diese Klasse nennt man gaußsche unitäre Ensemble (GUE). Diese gehören zu den sogenannten Wigner-Verteilungen, benannt nach dem Physiker Eugene Wigner, der bei der Analyse von schweren Atomkernen auf diese Verteilungen stieß.

[math] \frac{N_{f,H} - \int f(\lambda) \, dN(\lambda)}{\sigma_{f, n}} \overset{D}{\longrightarrow} N(0, 1) [/math]

Beweis

Trallala
Test

Bohemian Matrices

Inhalt

Wie macht man daraus Bilder?

Um die Eigenwerte der Zufallsmatrizen zu visualisieren, wird zunächst ein Satz von Matrizen nach dem gewünschten Muster generiert. Die Anzahl liegt dabei meist zwischen [math] 10^6[/math] und [math]10^7[/math], bei nur schwach zu sehenden Mustern müssen aber teilweise auch mehr Matrizen einberechnet werden, um ein besseres Bild zu erhalten.

Von diesen Matrizen werden dann die Eigenwerte und deren Dichte berechnet, das heißt je häufiger ein Eigenwert in den Matrizen vorkommt, desto stärker fällt dieser ins Gewicht.

Real- und Imaginärteil dieser Dichte werden dann in der komplexen Zahlenebene aufgetragen, wobei die Farbe nach einem vorher festgelegten Farbschema anhand der Dichte festgelegt wird.

Galerie

Betaverteilung

Bei diesen Matrizen werden alle Einträge zufällig aus einer Betaverteilung mit vorher festgelegten Parametern generiert. Eine Betaverteilung ist eine Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung (https://de.wikipedia.org/wiki/Beta-Verteilung). Dadurch entstehen je nach Wahl der Parameter Linienmuster, auf denen sich die Eigenwerte häufen.

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  Eigenwertdichte von 15 Millionen [math]6\times 6[/math] Matrizen mit Werten aus einer Betaverteilung mit den Parametern [math] \alpha = 0{,}001, \beta = 0{,}001 [/math] (Die Eigenwerte wurden an der imaginären Achse gespiegelt)

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  Eigenwertdichte von 5 Millionen [math]3\times 3[/math] Matrizen mit Werten aus einer Betaverteilung mit den Parametern [math] \alpha = 0{,}01, \beta = 0{,}01 [/math], Verschiebung -0,5, Amplitude 5 (Die Eigenwerte wurden an der imaginären Achse gespiegelt)

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  Eigenwertdichte von 30 Millionen [math]6\times 6[/math] Matrizen mit Werten aus einer Betaverteilung mit den Parametern [math] \alpha = 0{,}001, \beta = 0{,}01 [/math], Verschiebung -2, Amplitude 5 (Die Eigenwerte wurden an der imaginären Achse gespiegelt)

Zufällige Matrix mit Einträgen aus diskreter Menge

Die wohl einfachste Art von Matrizen sind [math]n\times n[/math] Matrizen, bei denen jeder Eintrag zufällig aus einer Menge von vorher festgelegten Einträgen ausgewählt wird. Von der so gewählten Matrix werden nun die Eigenwerte berechnet. Diese liegen in der komplexen Ebene, von welcher man einen Ausschnitt als Bild darstellt. Dabei entstehen runde Muster mit annähernd fraktal aussehenden Strukturen entlang der reellen Achse.

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  Eigenwertdichte von 10 Millionen [math]6 \times 6[/math] Matrizen mit Einträgen aus der Menge [math] \{-1, -\frac{1}{1000}, 0, \frac{1}{1000}, 1\} [/math]

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  Zoom in die Mitte des ersten Bildes

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  "Eigenkäfer" - Eigenwertdichte von 10 Millionen [math]6 \times 6[/math]Matrizen mit Einträgen aus der Menge [math] \{-1, -\frac{1}{100}, 0, \frac{1}{1000}, 12\} [/math]

Obere Hessenbergmatrix

Eine obere Hessenbergmatrix ist ähnlich wie eine obere Dreiecksmatrix, nur dass diese auch Einträge auf der ersten Nebendiagonalen unter der Hauptdiagonalen besitzt. Beispielsweise ist [math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 9 & 10 & 11 \\ 0 & 0 & 12 & 13 \end{pmatrix}[/math] eine obere Hessenbergmatrix. Analog ist [math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ 6 & 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 & 13 \end{pmatrix}[/math] eine untere Hessenbergmatrix.

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  Eigenwertdichte von 20 Millionen [math]12 \times 12[/math] oberer Hessenbergmatrizen mit Toeplitz-Struktur und Einträgen aus der Menge [math]\{-1, 0, 1\}[/math]

Tridiagonalmatrix

Eine Tridiagonalmatrix ist sowohl eine obere als auch eine untere Hessenbergmatrix und hat somit nur Einträge auf der Hauptdiagonalen und den beiden angrenzenden Nebendiagonalen. Z.B.:[math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 9 & 10 \end{pmatrix}[/math]

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  Eigenwertdichte von 10 Millionen [math]10 \times 10[/math] Tridiagonalmatrizen mit Einträgen aus der Menge [math]\{-π, π\}[/math]

Feste Matrix mit kontinuierlicher Verteilung in bestimmten Werten (Eigenfish)

Hier wurden Matrizen von der Form [math]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & A \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ B & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/math] verwendet. Die Einträge A und B wurden dabei zufällig aus einem kontinuierlichen Intervall ausgewählt.

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  Eigenwertdichte von 3 Millionen Matrizen mit [math]A,B \in [][/math]

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  Eigenwertdichte von 3 Millionen Matrizen mit [math]A,B \in [][/math]

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Trivia (vor oder nach Galerie?)

Zufallsmatrizen können in den unterschiedlichsten, teils überraschenden Themengebieten genutzt werden, um (Natur-)Phänomene zu beschreiben oder Daten zu modellieren. So etwa bei:

• Abständen parkender Autos und von Bäumen im Urwald
• Verknüpfung von Neuronen im Gehirn
• Datenkompression, Mobilfunk
• Finanzwirtschaft (Fluktuation von Börsenkursen)
• der Statistik ankommender U-Bahnen in New York

Warum genau es so gut funktioniert, diese doch sehr unterschiedlichen Dinge treffend durch Zufallsmatrizen zu beschreiben, ist überwiegend unbekannt.

Nicht nur in praktischen Anwendungsgebieten werden Zufallsmatrizen benutzt: Auch bei theoretischeren Problemen in der Mathematik, wie dem Beweis der Riemannschen Vermutung, sind Zufallsmatrizen möglicherweise ein vielversprechender Ansatz, zu einer Lösung zu gelangen, bspw. über eine Matrix, von den Wissenschaftlern Riemannium getauft, deren Eigenwerte den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion entsprechen.

Auch Fraktale wie Julia- und Mandelbrotmengen tauchen im Zusammenhang mit Zufallsmatrizen auf.

Quellen und Links

Quellen