Anwendungen der Knotentheorie: Unterschied zwischen den Versionen

Aus FunFacts Wiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Zeile 1: Zeile 1:
 
== Schuhe binden ==
 
== Schuhe binden ==
Was ist der effizienteste Weg, seine Schuhe zu binden? Ist es ''criss-cross'' oder ''straigh t''<font color="red">Bild mit Schnürtechniken</font>?
+
Was ist der effizienteste Weg, seine Schuhe zu binden?<ref>https://www.nature.com/articles/420476a</ref> Ist es ''criss-cross'' oder ''straigh t''<font color="red">Bild mit Schnürtechniken</font>?
  
 
Wir gehen von einem idealen Schuh aus, welcher <math> 2n </math> Ösen besitzt, <math>n\in \mathbb{N}</math> auf jeder Seite, um die Schnürsenkel zu binden. Um den Schnürsenkel mathematisch beschreiben zu können, muss er geschlossen sein. In der realen Welt ließe sich dies durch das Binden einer Schleife realisieren. Unsere Schnürung besteht aus <math>2n</math>&nbsp;Segmenten, wobei ein Segment jeweils die Verbindung zwischen zwei Ösen ist. Das heißt  demzufolge auch, dass jede Öse nur einmal verwendet wird. Als weitere Anforderung verlangen wir, dass mindestens eines der beiden einlaufenden Schnürsenkelsegmente je Öse seinen Ursprung in der anderen Reihe der Ösen besitzt. Damit wollen wir sicherstellen, dass die zwei Seiten des Schuhs wirklich festgezogen werden.
 
Wir gehen von einem idealen Schuh aus, welcher <math> 2n </math> Ösen besitzt, <math>n\in \mathbb{N}</math> auf jeder Seite, um die Schnürsenkel zu binden. Um den Schnürsenkel mathematisch beschreiben zu können, muss er geschlossen sein. In der realen Welt ließe sich dies durch das Binden einer Schleife realisieren. Unsere Schnürung besteht aus <math>2n</math>&nbsp;Segmenten, wobei ein Segment jeweils die Verbindung zwischen zwei Ösen ist. Das heißt  demzufolge auch, dass jede Öse nur einmal verwendet wird. Als weitere Anforderung verlangen wir, dass mindestens eines der beiden einlaufenden Schnürsenkelsegmente je Öse seinen Ursprung in der anderen Reihe der Ösen besitzt. Damit wollen wir sicherstellen, dass die zwei Seiten des Schuhs wirklich festgezogen werden.
Zeile 8: Zeile 8:
 
<math>\#(n)= \frac{(n!)^2}{2} \sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{n-k}\binom{n-k}{k}^2  </math>
 
<math>\#(n)= \frac{(n!)^2}{2} \sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{n-k}\binom{n-k}{k}^2  </math>
  
mit <math m=n/2</math> für gerade <math>n</math> und <math>m=(n-1)/2</math> für ungerade <math>n</math>.
+
mit <math> m=n/2</math> für gerade <math>n</math> und <math>m=(n-1)/2</math> für ungerade <math>n</math>.
 +
 
 +
Die Länge einer Schnürung ist die Summe aus allen einzelnen Teilsegmenten
 +
 
 
== Zwei Nägel und ein Bild ==
 
== Zwei Nägel und ein Bild ==
  
 
== Stricken ==
 
== Stricken ==

Version vom 9. September 2021, 13:28 Uhr

Schuhe binden

Was ist der effizienteste Weg, seine Schuhe zu binden?[1] Ist es criss-cross oder straigh tBild mit Schnürtechniken?

Wir gehen von einem idealen Schuh aus, welcher [math] 2n [/math] Ösen besitzt, [math]n\in \mathbb{N}[/math] auf jeder Seite, um die Schnürsenkel zu binden. Um den Schnürsenkel mathematisch beschreiben zu können, muss er geschlossen sein. In der realen Welt ließe sich dies durch das Binden einer Schleife realisieren. Unsere Schnürung besteht aus [math]2n[/math] Segmenten, wobei ein Segment jeweils die Verbindung zwischen zwei Ösen ist. Das heißt demzufolge auch, dass jede Öse nur einmal verwendet wird. Als weitere Anforderung verlangen wir, dass mindestens eines der beiden einlaufenden Schnürsenkelsegmente je Öse seinen Ursprung in der anderen Reihe der Ösen besitzt. Damit wollen wir sicherstellen, dass die zwei Seiten des Schuhs wirklich festgezogen werden.

Besitzt der Schuh auf jeder Seite gerade [math] n=1[/math] Löcher, so gibt es genau eine Möglichkeit, seinen Schuh zu binden. Betrachten wir also nun einen Schuh mit [math] n\geq2[/math] Löchern auf jeder Seite. Die Anzahl der möglichen Schnürungen bei [math] n[/math] Löchern ergibt sich zu

[math]\#(n)= \frac{(n!)^2}{2} \sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{n-k}\binom{n-k}{k}^2 [/math]

mit [math] m=n/2[/math] für gerade [math]n[/math] und [math]m=(n-1)/2[/math] für ungerade [math]n[/math].

Die Länge einer Schnürung ist die Summe aus allen einzelnen Teilsegmenten

Zwei Nägel und ein Bild

Stricken