Benutzer:Jan Agatz
Willkommen auf meiner Benutzerseite für das Wiki-Projekt "Fun Facts" der Uni Heidelberg!
Hier findet sich ein Prototyp meines Teiles des Wiki-Artikels Gegenbeispiele der Funktionentheorie und Analysis.
Motivation
Die Untersuchung von Gegenbeispielen lässt sich u.a. durch folgende drei Punkte motivieren:
- Gegenbeispiele können naheliegende und intuitiv richtige Aussage, die tatsächlich nicht gelten, widerlegen. So zeigt die Weierstraß-Funktion (Intralink einfügen), dass Stetigkeit auf einem Intervall nicht Differenzierbarkeit in (irgend-)einem Punkt implizieren muss.
- Weiter können diese beweisen, dass zwei Definitionen verschieden sind, und, je nach Situation, möglicherweise auch wodrin diese Unterschiede liegen. So zeigt die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen (in den reellen Zahlen), die Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar ist, dass diese beiden Definition der Integrierbarkeit/ des Integrals nicht zusammenfallen können.
- Schließlich zeigen Gegenbeispiele, zu einer bestimmten Aussage, meist pathologische Sonderfälle auf, die durch geschickte Wahl der Definition und Voraussetzung der Aussage ausgeschlossen werden können.
Gegenbeispiele der Analysis
Neben der Funktionentheorie und der Topologie lassen sich auch in der Analysis viele Gegenbeispiele finden.
Die Weierstraß-Funktion
Die Weierstraß-Funktion [math]f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/math] ist eine stetige Funktion, die jedoch auf keinem Intervall monoton und in keinem Punkt differenzierbar ist. Sie lässt sich sukzessiv definieren:
- Dafür betrachte man zuerst die Funktion [math]f_1: \mathbb{R} \rightarrow mathbb{R}[/math], die für [math]x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}][/math] durch [math]f_1(x) = |x|[/math] gegeben ist und auf [math]\mathbb{R}[/math] durch [math]f_1(x + k) = f_1(x)[/math] für [math]x \in \mathbb{R}[/math] und [math]n \in \mathbb{N}[/math] periodisch fortgesetzt wird.
- Weiter definiert man nun für jedes [math]n \in \mathbb{N}_{\gt 1}[/math] und jedes [math]x \in \mathbb{R}[/math]: [math]f_n(x) := \frac{f_{1}(4^(n - 1)x)}{4^(n - 1)}[/math], womit [math]f_n[/math] auch eine periodische Funktion.
- Schließlich setzt man für jedes [math]x \in \mathbb{R}[/math]: [math]f(x):= \sum_{n = 1}^{\infty} f_n(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{1}(4^(n - 1)x}{4^(n - 1)}[/math]