Die Feigenbaum Konstante

δ%% ich glaube wir sollten das Thema noch umbenennen in "Logistische Gleichungen und die Feigenbaumkonstante" da das hier 80%logistische gleichung ist, die man braucht für die herleitung der feigenbaumkonstante und für den bezug zum mandelbrotset

%-> find ich gut, aber ich weiß nicht wie man den Titel ändert.. Vlt müssen wir eine neue Seite erstellen.

%% HIER FRAGEN REINSCHREIBEN

Die Feigenbaum-Konstante

Das Feigenbaum-Diagramm

Die Feigenbaum-Konstante spielt in der Chaosforschung eine ähnlich große Rolle wie π in der Geometrie. Sie bezeichnet den Wert gegen den das Verhältnis der Längen zwei aufeinander folgender Intervalle, die durch "Gabeldungen" (Bifurkationen) begrenzt sind, konvergiert. (Siehe Graphik "Feigenbaum-Diagramm")

Die Zahl wurde von Mitchell Feigenbaum im Jahr 1975 entdeckt und ihr Zahlenwert δ wurde 1977 von den Physikern Siegfried Großmann und Stefan Thomae erstmals bestimmt.

Es gilt: δ ≈ 4,6692

Die logistische Gleichung

Die logistische Gleichung wurde 1837 von Pierre François Verhulst eingeführt, um Populationen bzw. deren Entwicklung modellhaft darzustellen. Die Relevanz für die Feigenbaum-Konstante besteht darin, dass man den Wert an einer Stelle [math]r[/math] im Feigenbaum-Diagramm auch als Grenzwert der Population mit dem entsprechenden Wachstumsfaktor interpretieren kann.

Sei [math]\boldsymbol{X}_n[/math] die relative Größe einer Polulation zu einem Zeitpunkt [math]n[/math] (zum Beispiel der Anteil der mit COVID-19 infizierten Menschen.) Man kann n als beliebiges Zeitntervall auffassen, so kann n beispielsweise Monate oder Jahre symbolisieren. [math]\boldsymbol{X}_0[/math] bezeichnet die Startpolulation zum Zeitpunkt [math]n = 0[/math].

Dann berechnet sich die Population [math]\boldsymbol{X}_{n+1}[/math] rekursiv mit der logistischen Gleichung:

[math]\boldsymbol{X}_{n+1} = r*\boldsymbol{X}_n * (1-\boldsymbol{X}_n) [/math]

wobei der Parameter [math]r[/math] der Wachstumsfaktor ist.

Die Gleichung berücksichtigt 2 Effekte:

1). Je größer die Population zum Zeitpunkt [math]n[/math] ist, desto größer ist durch Vermehrung die nachfolgende Population.

2) Je näher die relative Größe der Population am Maximum (=1) ist, desto weniger Ressourcen (uninfizierte Menschen/Nahrung, ..) gibt es, sodass sich die Population wieder verringert.

Das Verhalten der Folge hängt vom Wachstumsfaktor [math]r[/math] ab.

Der Grentzwert der Folge

Der Grenzwert der Folge wenn er existiert, ist unabhängig von dem Startwert [math]\boldsymbol{X}_0[/math] und wird nur durch [math]r[/math] bestimmt.

Das ist leicht daran erkennbar, dass für [math]n \rightarrow \infty[/math] gilt: [math]\boldsymbol{X}_{n+1} = \boldsymbol{X}_n[/math] und somit mit [math]\boldsymbol{g}:=\frac{\lim}{n \rightarrow \infty } (\boldsymbol{X}_n)[/math]

[math]\boldsymbol{g} = r*\boldsymbol{g} * (1-\boldsymbol{g}) [/math]

[math]\Rightarrow 1=r-r*\boldsymbol{g}[/math]

[math]\Rightarrow r*\boldsymbol{g}=r-1[/math]

[math]\Rightarrow \boldsymbol{g}=\frac{(r-1)}{r}[/math]

Beispiele:

Sei [math]\boldsymbol{X}_0 = 0,5[/math] (also die Hälfte der maximal möglichen Population) und [math]r=2,5[/math].

Dann berechnet sich [math]\boldsymbol{X}_1 = 2,5*0,5*(1-0,5)=0,626 [/math], [math]\boldsymbol{X}_2 \approx 0,5859[/math], [math]\boldsymbol{X}_3 \approx 0,6065[/math], [math]\boldsymbol{X}_4 \approx 0,5966[/math], [math]\boldsymbol{X}_5 \approx 0,6017[/math], usw. Die Folge der [math]\boldsymbol{X}_n[/math] nähert sich also dem Grenzwert [math]\frac{(2,5-1)}{2,5} = 0,6[/math] alternierend, wie man auch gut in Graphik 1 sehen kann.

Durch das selbe Beispiel mit Startwert [math]\boldsymbol{X}_0 = 0,1[/math] sieht man, dass der Grenzwert unabhängig von der Startpopulation ist (Graphik 2).

• 

  Graphik 1: Entwicklung einer Startpolulation X₀=0,5 über 10 Jahre mit einem Wachstumsfaktor r=2,5

• 

  Graphik 2: Entwicklung einer Startpolulation X₀=0,1 über 10 Jahre mit einem Wachstumsfaktor r=2,5

Verhalten in Abhängigkeit von r

Diegramm 1: Entwicklung der Population in Abhängigkeit von r

Wenn auf der x-Achse der Wert von [math]r[/math] aufgetragen wird und auf der y-Achse der entsprechende Grenzwert der Population, ergibt sich stückweise folgendes Diagramm 1:

(#außerdem sollt ihr das Diagramm 1 bearbeiten, fügt farbige Boxen ein und schreibt die römischen zahlen rein, wie sie hier definiert sind von den Längen auf der XAchse)

[math]\boldsymbol{I}: 0 \le r \le 1[/math]

Die Folge konvergiert gegen 0, d.h. die zu simulierende Populationen würden bei längerer Laufzeit aussterben.

[math]\boldsymbol{II}: 1 \lt r \le 3[/math]

Die Folge/Population konvergiert gegen den Grenzwert [math]\frac{(r-1)}{r}[/math].

[math]\boldsymbol{III}: 3 \lt r \le 1+\sqrt{6} \sim(3.45)[/math]

Die Folge/Population springt zwischen 2 Häufungspunkten.

Beispiel

Graphik 3: r = 3.2, Folge mit 2 Häufungspunkten

[math]\boldsymbol{X}_0 = 0,5 [/math] und [math]r = 3,2[/math]. Die darauf basierende Folge hat die Häufungspunkte H₁≈ 0,513 und H₂ ≈ 0.8 (siehe Graphik 3).

Intuitiv kann man sich das so vorstellen, dass eine Population die zu schnell wächst, bereits im 1. Jahr eine Größe erreicht, sodass nicht mehr genügend Ressourcen vorhanden sind. Infolgedessen schrumpft die Population im Folgejahr wieder. Durch ihr starkes Wachstum hat sie im 3. Jahr aber bereits wieder die Überbevölkerung. Auf diese Weise ist jene Population stets am oszilieren.

Das führt zu der Bifurkation (Gabelung) im Diagramm 1 bei [math]r = 3[/math].

Der größere der beiden Häufungspunkte ist mit wachsendem [math]r[/math] streng monoton steigend, der kleinere Häufungspunkt ist streng monoton fallend

[math]\boldsymbol{IV}: 1+\sqrt{6} \sim(3.45) \le r \lt 3,57 [/math]

Bei ca. 3.45 fängt die zweite Bifurkation an und es gibt nun 4 Häufungspunkte

Die Anzahl der Häufungspunkte der Folge/Population verdoppelt sich mit steigendem [math]r[/math] immer schneller, die nächste Verdopplung beginnt bei 3.54 . Ein Intervall, das durch 2 Bifurkationen begrenzt ist, wird dadurch immer kleiner.

Das Verhältnis der Längen zwei aufeinander folgender Intervalle konvergiert genau gegen die Feigenbaumkonstante δ ≈ 4,6692.

[math]\boldsymbol{V}: 3,57 \le r \lt 4[/math]

nachdem sich die Anzahl der Häufungspunkte mit steigendem [math]r[/math] bis zu 3.57 immer schneller verdoppelt fängt ab 3.57 plötzlich Chaos an. Die Folgen konvergieren nicht mehr gegen eine endlich Anzahl an Häufungspunkten, sondern bleiben chaotisch. Bei diesen chaotischen Parametern spielt auch der Anfangswert wieder eine Rolle, da er nun maßgeblich die Folge bestimmt.

Es existieren jedoch auch in diesem Bereich nicht chaotische Parameter. In der Umgebung von 3.82 gibt es ein Intervall mit 3 Häufungspunkten, welches in ein kleineres Intervall mit 6 Häufungspunkten übergeht usw. , bis es wieder in Chaos übergeht. Tatsächlich kann man für jede beliebige Anzahl von Häufungspunkten in diesem Bereich ein Intervall finden.

Schlussendlich liegen die nicht chaotischen Parameter dicht in diesem Bereich, d.h. in jedem noch so kleinen Teilintervall aus diesem Bereich befinden sich Parameter, mit denen die Folge gegen eine endliche Anzahl an Häufungspunkten konvergiert

[math]\boldsymbol{VI}: 4 ≤ r[/math]

Die Folge wächst monoton und überschreitet somit auch bei einem groß gewählten [math]n[/math] irgendwann die obere Populationsgrenze, und ist damit für Bevölkerungssimulationen nicht zu gebrauchen. Schlussendlich divergiert sie gegen [math]+ \infty[/math]

Die Berechnung der Feigenbaumkonstante

Ein Intervall ist ein Bifurkationsintervall, wenn für jedes r aus dem Intervall die Folge [math]\boldsymbol{X}_0[/math] die gleiche Anzahl an Häufungspunkten besitzt

Beispielsweise ist [3,3.45] ein Bifurkationsintervall, da jede die Folge [math]\boldsymbol{X}_0[/math] für jedes r aus diesem Intervall 2 Häufungspunkte hat (vgl [math]\boldsymbol{III}[/math]), dies nennen wir [math]\boldsymbol{A}_1[/math] und jedes drauffolgende [math]\boldsymbol{A}_n[/math] ist das zugehörige Intervall der Strecke mit 2^n Häufungspunkten. Diese dabei entstande Folge ist eine monoton fallende Nullfolge, ihre Reihe konvergiert gegen einen Wert ≈ 0.57, dies ist die Länge des in [math]\boldsymbol{III}[/math] und [math]\boldsymbol{IV}[/math] beschriebenen Bereichs.

Teilen wir die Länge zweier beliebiger benachbarter [math]\boldsymbol{A}_n[/math] dann kommt die schon oben erwähnte Feigenbaumkonstante raus.

%hier Bild einfügen der das Graphisch zeigt, am besten noch an zwei Stellen %Beispiel lässt sich hier gut durchrechnen mit A_2 und A_1 und A3 zu A2

A_n/A_(n+1)= δ ≈ 4,6692 (#TEXEN)

Es ist tatsächlich egal ob wir das Verhältnis von A1 zu A2 betrachten oder von A1000 zu A1001, am Ende ergibt sich dabei immer die Feigenbaumkonstante. Sie ist auch nicht auf die logistische Gleichung beschränkt, sondern lässt sich beispielsweise auch errechnen in der Funktion x_n+1= lambda*sin(x_N) (#texen bild von dieser Funktion mit bsp. geogebra erstellen, danach die gleichen linien einfügen die in dem vorherigen Bild erstellt wurden)

Bezug zum Mandelbrotset

• 

  Vergleich zum Mandelbrotset

• 

  Farbcodiertes Mandelbrotset

Schaut man sich die einen beschränkte Bereiche der reellen Zahlen in der Mandelbrotmenge an, ist die Anzahl der Häufungspunkte in der Mandelbrotiteration und der logistischen Gleichung gleich.

Dieser Wert gilt für den gesamten Kardioid, in welchem die ursprungliche reelle Zahl enthalten war. Somit lassen sich die Anzahl der Häufungspunkte von Kardioiden berechnen, welche Teile der reellen Achse überdecken.

Die Feigenbaumkonstante ist also gleichzeitig auch das Längenverhältnis der Kardioiden des Mandelbrotsets.

NOCH UNERLEDIGTEs zeug

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für christian: (alles auf part 1 bezogen) %% ==> mit X_n haben wir eine Folge (Ana1), X_0 muss dabei zwischen [0,1] sein (populationsstart sollte trivialerweise positiv sein und unter der oberen Schranke der Populationsgröße sein)

%% G>0

%% lambda>0 und kleiner als 4

und bin mir bei deiner errechnung von r-1/r nicht sicher XD

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ich würde die graphik eins und zwei und drei noch so modifizieren, sodass die punkte mit linien verbunden werden, dann sieht das viel besser aus. (die linien dürfen nicht die Punkte übertrumpfen, sonst sieht es aus wie eine stetige FUnktion, obwohl wir nur natürliche Zahlen einsetzen können.

% im veritasium video min 7 wird das gezeigt, hier gibts definitiv coole möglichkeiten gifs einzufügen,

% Part 5: andere bezüge (veritasium vid. min 11)

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schon erledigtes zeug

%PART 1 .BASICS der Funktion (logistische Gleichung) https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung

%% beispiel für lambda (fest gewählt) benutzen und zeigen dass für vchiedene Startwerte die Konvergenz für n gegen unendlich sich nicht verändert und gegen den gleichen fixpunkt konvergiert, hier kann man zwei verschiedene X_0 benutzen und mit einer beispielrechnung zeigen, dass sie nach 10/20 schritten fast die gleichen ergebnisse haben

die hasen sketche sind ne schnapsidee, die man hätte machen können wenn mehr zeit wär, einfach ignorieren

%% beispiele anhand von Hasenpopulationen machen, Bilder mit kleinen niedlichen hasen einfügen, einer soll eine schrotflinte in der hand haben, und irgendwie den teil signalisieren , dass mehr hasen sterben als geboren werden wenn X_n n ahe an 1 ist. die Folge X_n könnte dann z.b. die hasenpopulation darstellen in aufeinanderfolgenden Jahren

%%noch mehr Bilder mit süßen niedlichen hasen zeichnen

%PART 2: Der chaotische Graph https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/LogisticMap_BifurcationDiagram.png

%Wir bersprechen hier einen Graphen , dessen X Achse der lambda wert ist, und dessen y achse die häufungspunkte der Folge X_n mit diesem Lambda .

%(hier soll von links nach rechts der Graph immer ein bisschen mehr enthüllt werden)

%1.Teil : Tod ( 0=<lambda<= 1)

%DIe hasen population stirbt in jedem Fall aus, d.h. Die Fixpunkte sind null und somit auch Y-Wert

%Bild von Hasenfriedhof einzeichnen,soll aber trotzdem cute sein

%2.Teil : 1 Fixpunkt ( 1=<lambda<= 3)

%hier nähert sich die Population einem Fixpunkt an, man merkt auch dass es streng monoton wachsend ist

%3.Teil : 2 Fixpunkte(3<= lambda <= 1+Wurzel(6)) (ca.3.45))

%Die reihe konvergiert nicht mehr sondern hüpft zwischen zwei fixpunkten hin und her, der größere fixpunkt steigt monoton bei steigendem lambda, der kleiner fällt monoton

%4.Teil 2^n Fixpunkte (1+Wurzel(6)) (ca.3.45)<= lambda <= ca.3,57)

%die anzahl der fixpunkte verdoppeln sich immer häufiger.

%5.Teil Chaos (3.57 <=lambda <= 4)

%joa chaos halt, hier ist auch plötzliche die Änderung des Startwertes doch wieder von Interesse, da durch minimale Änderungen der Startwerte sich alles ändern kann. Es gibt jedoch ab und zu mal werte, welche sich wieder stabilisieren, sieht man gut im Graphen

%#Bild von hasen zeichnen , der aus der Wirklichkeit rausglitcht

%6.Teil Divergenz lambda >4

%hier divergiert die folge ins unendliche

% Part3: DIE KONSTANTE: hierzu betrachten wir den 3 und 4. Teil des Graphen. Def. Bifurkationsintervall: Intervall von lambda welche die gleiche anzahl häufungspunkte haben. zb. [3,3.45] hat zwei Häufuingspunkte, dies nennen wir jetzt mal A_1 und jedes drauffolgende A_n ist das zugehörige Intervall der Strecke mit 2^n Häufungspunkten.

%Teilen wir die Länge zweier beliebiger benachbarter A_n dann kommt die Feigenbaumkonstante raus.

%hier Bild einfügen der das Graphisch zeigt, am besten noch an zwei Stellen

%FBK = A_n/A_n+1

%Beispiel lässt sich hier gut durchrechnen mit A_2 und A_1

%nun lässt sich auch ausrechnen wann das Chaos beginnt, da wir mit A_n eine folge haben, welche immer kleiner wird (nullfolge) aka irgendwann die Verdopplung immer öfter passieren bis es dann zum chaos wird

% es lassen sich auch andere funktionen benutzen, dort wird die Feigenbaumkonstante auch wieder vorkommen als Verhältnis der Bifurkationsintervalle (hier müssen wir noch herausfinden, bei welchen Funktionen das zutrifft, im video ist als anderes Beispiel x_n+1= lambda*sin(x_N)

% PaRT4:bezug zum mandelbrotset,

%wenn man an bestimmten stellen ranzoomt, sieht der graph aus wie ein Fraktal

%hier wird definitiv ein querverweis auf das mandelbrotthema gemacht der anderen gruppe

%wenn man reelle zahlen einsetzt in die "mandelbrotfunktion" dann haben diese die gleiche anzahl an häufungspunkten wie die logistische funktion

sollten wir quellen brauchen, dann ist hier noch: https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge#Bezug_zur_Chaostheorie