Lemma von Riesz und Folgerungen

Das Lemma von Riesz ist eine bedeutende Aussage eigentlich der Funktionalanalysis. Jedoch kann man mit ein paar grundliegenden Konzepten relativ starke Aussagen über die Beschaffenheit von Vektorräumen sagen. Eine dieser Aussagen wird das Ziel dieses Artikels sein. Das Lemma von Riesz gibt die Grundlage eines Beweises für ein Kriterium über Endlichdimensionalität eines Vektorraumes. Dieses Kriterium wird dementsprechend auch in der Literatur Kompaktheitssatz von Riesz genannt. Um dieses Resultat zu beweisen ist es jedoch notwendig erstmal das Lemma von Riesz einzuführen und zu beweisen.

Motivation

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Das Lemma von Riesz

Das Lemma von Riezs beschreibt eine interessante Eigenschaft in einem normierten Raum [math]\mathbb{X}[/math]. Nämlich ist [math]U[/math] ein abgeschlossener Unterraum von [math]\mathbb{X}[/math] und [math]U \neq \mathbb{X}[/math], dann existiert zum einen ein Vektor [math]x_{\delta} \in \mathbb{X}[/math] mit [math]\Vert x_\delta \Vert =1 [/math] und zum anderen gilt für alle [math]u \in U[/math] für ein [math] \delta \in (0,1)[/math], dass [math] \Vert x_\delta - u \Vert \geq 1-\delta [/math]. Anschaulich heißt das, dass wir für jeden Punkt in dem abgeschlossenen Unterraum [math] U [/math] einen Punkt finden, der mindestens den Abstand [math] 1-\delta [/math] zu diesem besitzt.

Beweis

Wir wählen zuerst [math] x \in \mathbb{X}\setminus U [/math]. Dadurch dass [math] U [/math] abgeschlossen ist können wir folgern, dass [math] d:=\inf\{\Vert x-u \Vert | u \in U \} \gt 0 [/math]. Das folgt aus der Definition der Abgeschlossenheit in einem normierten Raum. Denn gäbe es ein [math] x \in \mathbb{X}\setminus U [/math], sodass [math] d=0 [/math], so gäbe es auch eine Folge [math](u_n)_{n\in \mathbb{N}} [/math], sodass [math] \Vert u_n - x \Vert \rightarrow 0 [/math], was implizieren würde, dass [math]x[/math] im Abschluss von [math]U[/math], also [math]\bar{U}[/math] läge. Da [math]U[/math] abgesclossen ist, gilt [math] U=\bar{U}[/math] und somit [math] x \in U [/math], was ein Widerspruch zur Annahme [math] x \in \mathbb{X}\setminus U [/math] ist.

Weiter gilt, da [math] \delta \in (0,1) [/math], dass [math]d \lt \frac{d}{1-\delta} [/math]. Somit existiert ein [math] u_{\delta} \in U [/math] mit [math] \Vert x-u_{\delta} \Vert \lt \frac{d}{1-\delta} [/math]. Setzen wir also [math] x_{\delta}:= \frac{x-u_\delta}{\Vert x-u_\delta \Vert} [/math], so gilt [math] \Vert x_{\delta} \Vert =1 [/math], was den ersten Teil des Lemmas zeigt.

Für den zweiten Teil sei [math] u \in U [/math] ein beliebiger Punkt. Aufgrund der Konstruktion von [math]x_\delta[/math] gilt die folgende Identität:

[math] \begin{align} \Vert x_{\delta}-u \Vert &= \Bigl\Vert \frac{x}{\Vert x- u_{\delta}\Vert} - \frac{u_{\delta}}{\Vert x- u_{\delta}}- u\Bigr\Vert \\ &=\frac{1}{\Vert x- u_{\delta} \Vert} \Bigl\Vert x - (u_{\delta}+\Vert x- u_{\delta}\Vert u)\Bigr\Vert \end{align} [/math]

Per Konstruktion folgt aber auch, dass [math] u_{\delta}+\Vert x- u_{\delta}\Vert u \in U [/math] und daher [math] \Vert x - (u_{\delta}+\Vert x- u_{\delta}\Vert u)\Bigr\Vert \geq d [/math]. Daraus folgt dann aus der obigen Gleichung, dass

[math] \begin{align} \Vert x_{\delta}-u \Vert =\frac{1}{\Vert x- u_{\delta} \Vert} \Bigl\Vert x - (u_{\delta}+\Vert x- u_{\delta}\Vert u)\Bigr\Vert \geq \frac{d}{\Vert x- u_{\delta} \Vert} \end{align} [/math]

und somit [math] \Vert x_{\delta}-u \Vert \gt 1-\delta [/math] aufgrund der Wahl von [math] u_\delta [/math].

Der Kompaktheitssatz von Riesz

Die allgemeine Version des Satzes lässt sich so formulieren:

Ein normierter Vektorraum [math]\mathbb{X}[/math] ist endlich dimensional, genau dann, wenn die abgeschlossene Einheitskugel [math]\mathbb{D}[/math] ein kompakter topologischer Unterraum ist.

Wir beschränken uns hier jedoch mehr auf den spezifischeren Fall, dass [math]\mathbb{X}[/math] ein [math]\mathbb{R}[/math]-Vektorraum ist. Dadurch lässt sich obiger Satz zu folgender Aussage umformulieren:

Ein [math]\mathbb{R}[/math]-Vektorraum [math]\mathbb{X}[/math] ist endlich dimensional, genau dann, wenn [math]\mathbb{D}:= \{v \in \mathbb{X} | \Vert v \Vert \leq 1\}[/math] kompakt ist.