Zauberhafte Invarianten

Zaubertricks

Beispiel mit zyklischer Abstand

Zaubertrick der mit Invarianten spielt

Was sind Invarianten?

Definition

Eine Invariante ist eine Eigenschaft, die bei einer bestimmten Operation nicht verändert wird.

Beispiele

• Die Eigenschaft eine gerade Zahl zu sein ist eine Invariante unter der Multiplikation mit beliebigen ganzen Zahlen
• Linearität einer Abbildung ist eine Invariante unter Komposition von Abbildungen

Was bringen uns Invarianten in der Zauberei?

Bei einem Kartentrick können wir uns Invarianten zu nutze machen, indem wir beim durcheinander bringen des Kartenstapels nur Operationen nutzen, die gewünschte Eigenschaften unverändert lassen.

So können wir erreichen, dass eine Eigenschaft trotz des Mischens nicht verloren geht. Eine solche Eigenschaft könnte etwa sein, dass die roten und schwarzen Karten in verschiedene Richtungen zeigen.

Natürlich darf es nicht zu offensichtlich und einfach sein, da sonst der Effekt des Zauberns verloren geht.

Die Mathematik hinter dem Zaubern

Notation

Sei [math]n \in \mathbb{N}[/math] die Anzahl der roten und der schwarzen Karten. Der Stapel besteht also aus [math] 2n [/math] Karten. Es ist erlaubt, dass einige Karten umgedreht sind, dieser Zustand wird wie folgt geschrieben: [math]r[/math] ist eine rote Karte und [math]-r[/math] ist eine umgedrehte rote Karte. Analog bei schwarzen Karten, die mit [math]s[/math] bezeichnet werden.

Der ganze Stapel wird beschrieben durch eine Folge [math](x_1,x_2,\dots,x_{2n})[/math], wobei [math]x_i \in \{r,-r,s,-s\}\ \forall i \in \{1,\dots,2n\}[/math]. Die Menge dieser Folgen sei [math]\Delta_{2n}[/math], sie hat offensichtlich [math]4^{2n}[/math] Elemente.

Beispiel

Die Folge (s,-s,r,r,-s,-r,r,s)

Definition

Ein [math](x_1,\dots,x_{2n}) \in \Delta_{2n}[/math] erfüllt die Eigenschaft [math]\epsilon[/math], wenn für ein [math](x_1,\dots,x_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon}[/math] gilt: [math]x_2, x_4, x_6, \dots \in \{r,-s\}[/math] und [math]x_1, x_3, x_5, \dots \in \{-r,s\}[/math] oder umgekehrt.

D.h. das umdrehen jeder zweiten Karte bewirkt, dass rote und schwarze Karten in verschiedene Richtungen zeigen. Die Menge der Folgen mit [math]\epsilon[/math] bezeichnen wir mit [math]\Delta_{2n, \epsilon}[/math].

Beispiele

• [math](r,s,r,s,r,s,r,s)[/math]
• [math](s,r,s,r,s,r,s,r)[/math]
• [math](s,-s,-r,r,s,-s,-r,r)[/math]

• 

  (r,s,r,s,r,s,r,s)

• 

  (s,r,s,r,s,r,s,r)

• 

  (s,−s,−r,r,s,−s,−r,r)

Zugelassene Handlungen

Wir wollen nun Handlungen finden, die die Eigenschaften [math]\epsilon[/math] beibehält.

Diese Handlungen sollen sein:

• Reihenfolge verändern
• Karten umdrehen
• Vorschriften sollen für alle Folgen die gleichen sein

Diese Handlungen "verpacken" wir in Abbildungen [math]\Phi [/math] auf [math]\Delta_{2n, \epsilon}[/math].

Beispiele

• [math] \phi(x_1,\dots, x_{2n}) := (x_1, -x_2, x_3, -x_4,\dots, x_{2n-1}, -x_{2n} )[/math] z.B, ist [math] \phi(s,r,s,r,s,r,s,r) = (s,-r,s,-r,s,-r,s,-r) [/math]
• [math] \phi(x_1,\dots, x_{2n}) := (x_{2n}, \dots, x_1) [/math] z.B. [math] \phi(s,r,s,r,s,r,s,r) = (r,s,r,s,r,s,r,s) [/math]

Eigenschaften der Abbildungen

Die Menge dieser Abbildungen nennen wir [math]\mathcal{G} [/math].

Nun wollen wir wissen für welche [math]\Phi \in \mathcal{G} [/math] gilt, dass für eine Folge [math](x_1,\dots,x_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon}[/math] auch gilt [math]\phi((x_1,\dots,x_{2n})) \in \Delta_{2n, \epsilon}[/math].

Also welche [math]\Phi \in \mathcal{G} [/math] [math]\Delta_{2n, \epsilon}[/math] invariant lassen.

Nennen wir diese Menge [math]\mathcal{G}_{\epsilon} [/math].

Satz (Gruppe der Abbildungen)

[math] (\mathcal{G}, \circ) [/math] ist eine Gruppe mit Untergruppe [math] (\mathcal{G}_\epsilon, \circ) [/math].

Beweis
Dass [math] \mathcal{G} [/math] eine Gruppe ist, ist klar. Durch einfaches Nachrechnen der Untergruppenkriterien erhält man auch, dass [math] \mathcal{G}_{\epsilon} [/math] eine Untergruppe ist.

Handlung 1 (Abheben)

Sei [math]1 \leq k \leq 2n [/math]. Wir bezeichnen die erste Handlung mit [math]\mathcal{A} _k [/math] und definieren so

[math]\mathcal{A} _k((x_1,\dots,x_{2n})) :=(x_{k+1},\dots,x_{2n},x_1,\dots,x_{k}) [/math].

In Worten: [math]\mathcal{A} _k [/math] stellt das Abheben von k Karten dar, die anschließend wieder unter den Stapel gelegt werden.

Diese Handlung ist in [math]\mathcal{G}_{\epsilon} [/math].

Beweis

Sei [math](x_1,\dots,x_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon}[/math] und [math](y_1,\dots,y_{2n}) := \mathcal{A} _k((x_1,\dots,x_{2n})) [/math]. Es können vier verschiedene Fälle auftreten. Fall 1: [math]k [/math] gerade [math]x_2,x_4,x_6,... \in \{ r, -s\} [/math] [math]x_1,x_3,x_5,... \in \{-r, s\} [/math] Da [math]k [/math] gerade, liegen nach der Durchführung von [math]\mathcal{A} _k [/math] die Karten die vorher an gerader Position lagen, wieder an gerader Position. Somit gilt, dass [math]y_2,y_4,y_6,... \in \{ r, -s\} [/math] und [math]y_1,y_3,y_5,... \in \{-r, s\} [/math]. Und damit [math](y_1,\dots,y_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon} [/math]. Fall 2: [math]k [/math] gerade [math]x_2,x_4,x_6,... \in \{ -r, s\} [/math] [math]x_1,x_3,x_5,... \in \{r, -s\} [/math] Da [math]k [/math] gerade, liegen nach der Durchführung von [math]\mathcal{A} _k [/math] die Karten die vorher an gerader Position lagen, wieder an gerader Position. Somit gilt, dass [math]y_2,y_4,y_6,... \in \{ -r, s\} [/math] und [math]y_1,y_3,y_5,... \in \{r, -s\} [/math]. Und damit [math](y_1,\dots,y_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon} [/math]. Fall 3: [math]k [/math] ungerade [math]x_2,x_4,x_6,... \in \{ r, -s\} [/math] [math]x_1,x_3,x_5,... \in \{-r, s\} [/math] Da [math]k [/math] gerade, liegen nach der Durchführung von [math]\mathcal{A} _k [/math] die Karten die vorher an gerader Position lagen, jetzt an ungerader Position. Somit gilt, dass [math]y_2,y_4,y_6,... \in \{ -r, s\} [/math] und [math]y_1,y_3,y_5,... \in \{r, -s\} [/math]. Und damit [math](y_1,\dots,y_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon} [/math]. Fall 4: [math]k [/math] ungerade [math]x_2,x_4,x_6,... \in \{ -r, s\} [/math] [math]x_1,x_3,x_5,... \in \{r, -s\} [/math] Da [math]k [/math] gerade, liegen nach der Durchführung von [math]\mathcal{A} _k [/math] die Karten die vorher an gerader Position lagen, jetzt an ungerader Position. Somit gilt, dass [math]y_2,y_4,y_6,... \in \{ r, -s\} [/math] und [math]y_1,y_3,y_5,... \in \{-r, s\} [/math]. Und damit [math](y_1,\dots,y_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon} [/math].

Handlung 2 (Umdrehen)

Sei [math]1 \leq 2l \leq 2n [/math] mit [math]2l [/math] gerade. Wir bezeichnen die zweite Handlung mit [math]\mathcal{U} _{2l} [/math] und definieren so

[math]\mathcal{U} _{2l}((x_1,\dots,x_{2n})) :=(-x_{2l},-x_{2l-1},...,-x_{1},x_{2l+1},...,x_{2n}) [/math].

In Worten: [math]\mathcal{U} _{2l} [/math] stellt das Umdrehen des oberen Stapels mit 2l Karten dar, die anschließend wieder auf den Stapel gelegt werden.

Diese Handlung ist in [math]\mathcal{G}_{\epsilon} [/math].

Beweis

Sei [math](x_1,\dots,x_{2n}) \in \Delta_{2n,\epsilon} [/math] beliebig. Damit gibt es zwei Fälle: Fall 1: [math] x_1,x_3,x_5,\dots,x_{2n-1} \in \{r,-s\}[/math] und [math] x_2,x_4,x_6,\dots,x_{2n} \in \{-r,s\}[/math]. Betrachte [math] \mathcal{U} _{2l}((x_1,\dots,x_{2n})) [/math] an einer beliebigen Stelle [math] 2r [/math], [math] r \in \mathbb{N} [/math]. Ist [math]2r \gt 2l [/math], so stimmen [math] \mathcal{U} _{2l}((x_1,\dots,x_{2n})) [/math] mit [math] (x_1,\dots,x_{2n}) [/math] dort überein. Damit ist also ist das Element an dieser Stelle in [math] \{r,-s\} [/math]. Ist jedoch [math] 2r \ge 2l [/math], so wird es an eine ungerade Stelle verschoben und umgedreht. War es vorher in [math] \{-r,s\} [/math] liegt es jetzt also in [math] \{-r,s\} [/math]. Somit ist [math] \mathcal{U} _{2l}((x_1,\dots,x_{2n})) \in \Delta_{2n,\epsilon} [/math]. Fall 2: [math] x_1,x_3,x_5,\dots,x_{2n-1} \in \{-r,s\} [/math] und [math] x_2,x_4,x_6,\dots,x_{2n} \in \{r,-s\} [/math]. Analog zu Fall 1. Also ist [math] \mathcal{U} _{2l} \in \mathcal{G}_{\epsilon} [/math].

Handlung 3

Seien [math] r[/math], [math] 2l [/math] Zahlen, so dass [math] 1 \leq r \lt r \lt r + 2l \leq 2n [/math]. Wir bezeichnen die dritte Handlung mit [math] \mathcal{U}_{r,2l} [/math] und definieren so

[math] \mathcal{U}_{r,2l}(x_1, ..., x_{2n}) := (x_1, ... , x_{r},-x_{r+2l}, -x_{r+2l-1}, ... , -x_{r+1}, x_{2l+1}, ... , x_{2n}) [/math].

In Worten: Die ersten [math] r [/math] Karten werden unverändert gelassen, die nächsten [math] 2l [/math] Karten alle umgedreht und ihre Reihenfolge invertiert. Die restlichen Karten werden unverändert gelassen.

Diese Handlung ist in [math]\mathcal{G}_{\epsilon} [/math].

Beweis

Wir wissen bereits, dass [math] \mathcal{A}_k \text{ und } \mathcal{U}_2l \text{ in } \mathcal{G}_{\epsilon} [/math] sind. Wenn wir uns die Beschreibung in Worten anschauen wird schnell klar, dass [math] \mathcal{U}_{r,2l} [/math] als Hintereinanderausfürhung dieser geschrieben werden kann: [math] \mathcal{U}_{r,2l} = \mathcal{A}_2l \circ \mathcal{U}_2l \circ \mathcal{A}_r[/math] Da [math] \mathcal{G}_\epsilon [/math] eine Untergruppe von [math] \mathcal{G} [/math] ist, ist [math] \mathcal{U}_{r,2l} [/math] damit auch in [math] \mathcal{G}_\epsilon [/math] .

Handlung 4 (Invertieren)

Invertieren [math] I [/math] ist definiert durch

[math] I(x_1, ... , x_{2n}):= (x_{2n}, ... , x_1)[/math],

und ist ein Element von [math]\mathcal{G}_{\epsilon} [/math].

Beweis
Das Umkehren der Reihenfolge bewirkt, dass alle Elemente die vorher an gerader Stelle nun an ungerader Stelle sind und umgekehrt. Damit bleibt die Eigenschaft [math] \epsilon [/math] erhalten und [math] I(x_1, ... , x_{2n}) [/math] ist damit in [math]\Delta_{2n,\epsilon} [/math]

Mathematische Erklärung der Zaubertricks

Trick 1

Wir schauen uns die unterste Karte des Stapels an bevor wir den Zuschauer eine Karte ziehen lassen. Dadurch dass wir die Karte des Zuschauers nur vermeintlich willkürlich in die Mitte des Stapels sortieren, aber sie in Wirklichkeit unter die Karte gelegt wird,die zuvor die unterste Karte war, haben wir eine "Ordnung" mit der wir arbeiten können.

In diesem Trick ist die Invariante [math]\mathcal{Z} [/math] die Eigenschaft ist, dass die gesuchte Karte die Karte hinter der vorherigen untersten Karte (in diesem Fall der Pik König) ist. (Im Fall, dass die vorher unterste Karte jetzt nun auch nach dem Mischen die unterste ist ist die gezogene Karte die oberste auf dem Stapel, das wir die Folge auch zyklisch betrachten können )

Beim Mischen wird nur Handlung 1 verwendet, also das Abheben der Karten verwendet. Hierbei wird [math]\mathcal{Z} [/math]nicht verletzt.

Beweis (mit anwendungsbezogener Erklärung)

Sei [math]n \in \mathbb{N} [/math] die Anzahl der Karten und [math](x_1,\dots,x_n) [/math]die Folge der Karten. Der Zuschauer zieht die Karte [math]x_i , 1\le i \le n [/math] Diese Folge wird geteilt an Stelle [math]j , 1\le j \le n [/math]mit [math]j \neq i [/math] und Karte [math]x_i [/math]wird unter [math]x_n [/math]gelegt. Somit erhalten wir die Folge: [math](x_j,\dots,x_{n},x_{i},x_{1},\dots,x_{j-1}) [/math] Durch das Mischen können 3 Fälle eintreten: Fall 1: Stapel wird geteilt an [math]k , j \le k \le n-1 [/math]. Dadurch erhalten wir Folge [math](x_{k-1},\dots,x_{n},x_{i},x_{1},\dots,x_{j-1},x_j,\dots,x_k) [/math]. So ist [math]x_n [/math]noch vor [math]x_i [/math]. Fall 2: Stapel wird geteilt an [math]k = n [/math] oder [math]k = i [/math]. Dadurch erhalten wir Folge [math](x_{i},x_{1},\dots,x_{j-1},x_j,\dots,x_{n}) [/math]. So ist [math]x_n [/math] noch "vor" [math]x_i [/math]. Fall 3: Stapel wird geteilt an [math]k , 1 \le k \le j-1 [/math] Dadurch erhalten wir Folge [math](x_{k+1},\dots,x_{j-1},x_j,\dots,x_{n},x_{i},x_{1},\dots,x_{k}) [/math]. So ist [math]x_n [/math] noch vor [math]x_i [/math].

Trick 2

Vier Könige und vier Damen werden so sortiert, dass sie jeweils vier Karten entfernt von ihrem Partner liegen. Der Stapel wird gemischt durch Abheben. Wir sehen, dass die Dame immer noch vier Karten weg vom König liegt.

Um dieser Trick zu erklären, brauchen wir den Begriff von zyklischem Abstand:

Sei K und K‘ zwei Karten eines Stapels. Dann ist der zyklische Abstand k wie viele Karten weiter von K man zählen muss, um nach K‘ zu kommen.

Zyklischer Abstand ist eine Invariante unter Abheben

Beweis
Im Trick ist der zyklische Abstand zwischen eine Dame und ihr König immer 4. Weil das Mischen nur von Abhebungen besteht, wird dieser Abstand erhalten.

Trick 3

Die Kartenanzahl ist gerade. Daher wechseln sich die Karten bezüglich der Eigenschaft auch am Ende des Stapels ab, wenn die erste karte des Stapels die nächste ist. Somit bleibt diese abwechselnde Anordnung auch nach dem Abheben beliebig vieler Karten erhalten. Da nach dem Zeigen der Karten die Reihenfolge der beiden Zuschauerkarten verdreht wird, sind diese die einzigen Karten im Stapel, die aus der Reihe tanzen. Somit sind sie leicht zu entdecken.

Beweis

Sei [math] n \in \mathbb{N} [/math] sodass [math] 2n [/math] die Anzahl der Karten im Stapel ist. Nach der Vorbereitung wechseln sich die Karten bezüglich des Erfüllens einer beliebigen Eigenschaft [math] \pi [/math] ab. Ohne Einschränkung erfüllen alle geraden Elemente des Stapels [math] \pi [/math] und alle ungeraden nicht. Hebt man nun [math] r \in \{1,\dots, 2n\} [/math] Karten ab, so erhält man das neue Deck: [math] \{x_{2n-r+1},\dots, x_{2n}, x_1,\dots, x_{2n-r}\} [/math] . [math] x_{2n} [/math] war vorher an gerader Stelle, erfüllt also [math] \pi [/math] und [math] x_1 [/math] war vorher an ungerader Stelle, erfüllte [math] \pi [/math] somit nicht. Daher wechseln sich die Karten nach wie vor bei der Erfüllung von [math] \pi [/math] ab. Abheben verändert daran also nichts. Sei das ursprüngliche Deck [math] \{x_1,\dots,x_{2n}\} [/math] nun durch beliebig oftes Abheben verändert und [math] x_j [/math] und [math] x_{j+1} [/math] die beiden Zuschauerkarten (mit Nummerierung des Ursprünglichen Decks). Nach dem vertauschten Zurückstecken der Zuschauerkarten und erneutem Mischen sei [math] \{x_, \} [/math]