Euklidische Geometrie

Biographie: Euklid von Alexandria

Leben

Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker. Unüblich für Gelehrte der damaligen Epoche, sind über ihn wenig biografische Informationen bekannt. Die wenigen vorhandenen Informationen stammen fast ausschließlich aus Berichten anderer Gelehrter seiner Zeit oder sogar erst denen späterer Jahrhunderte. Er lebte und wirkte vermutlich im 3. Jhd. v. Chr. im antiken Alexandria und war etwas jünger als die Schüler Platons. Er beschäftigte er sich mit allen Bereichen der damaligen Mathematik (AUFZÄHLEN?), vor allem aber mit der Geometrie und der Zahlentheorie, bspw. mit Primzahlen. QUELLE: Struik, Dirk J. (1967) A Concise History of Mathematics, S. 62

Werke

Unter seinen zahlreichen Werken befindet sich auch für diesen Artikel besonders relevante Buch "Elemente" (Stoicheia), eigentlich eine umfassende Sammlung von 13 Büchern (später auf 15 erweitert) des mathematischen Wissens der damaligen Zeit. Es ist eines der ersten Musterbeispiele für mathematische Strenge bei der Beweisführung und wurde über fast zwei Jahrtausende als Lehrbuch verwendet. Obwohl unklar ist, wie viele der tatsächlichen Beweise der Aussagen tatsächlich von Archimedes durchgeführt wurden, besteht seine Leistung v. a. in der umfassenden Sammlung vorhandener Erkenntnisse und deren kohärenter Darstellung.

/zeigt das Buch einen STRENG AXIOMATISCHEN Aufbau, d. h., dass sämtliche weitere Aussagen aus wenigen Grundannahmen generiert werden.

Euklids Propositionen aus Postulaten/Axiomen

1. Beispiel 2. Beispiel (3. Beispiel)

Hilberts Umformulierung

David Hilbert

David Hilbert (1862-1943) gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Er beschäftigte sich hauptsächlich mit der axiomatischen Grundlegung der Geometrie, Problemen der Zahlentheorie sowie Fragen der Relativitätstheorie. Im Jahr 1900 stellte er auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris seine 23 berühmten Probleme vor, die viel Beachtung eregten, jedoch teilweise bis heute ungelöst sind. Eine Beispiel einer Lösung der Probleme ist der Gödelsche Unvollständigkeitssatz. Dieser zeigt allerdings unter anderem, dass die von Hilbert angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik nicht gänzlich erfüllbar ist.

Axiomsystem der euklidische Geometrie

Euklids "Elemente" blieben bis Ende des 19. Jahrhunderts das allgemeine Standardwerk der axiomatischen Geometrie. Mit dem Aufkommen der Logik und Mengenlehre entstand jedoch die Notwendigkeit eines Zugangs, welcher strengeren Anforderungen genügt. Erste Vorarbeiten lieferten Pasch und Peano, den großen Durchbruch erzielt jedoch Hilbert. Mit den "Grundlagen der Geometrie" (1899) entwickelte er einen modernen axiomatischen Zugang für die euklidische Geometrie, welcher beispielgebend für axiomatische Theorien in der Mathematik wurde und die moderne Mathematik stark beeinflusste.

Autorinnen

Hannah Maya Pompetzki, Lea Homann, Sophia Künzig, Isabel Giray