Zauberhafte Invarianten
Zaubertricks
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Was sind Invarianten?
Definition
Eine Invariante ist eine Eigenschaft, die bei einer bestimmten Operation nicht verändert wird.
Beispiele
- Die Eigenschaft eine gerade Zahl zu sein ist eine Invariante unter der Multiplikation mit beliebigen ganzen Zahlen
- Linearität einer Abbildung ist eine Invariante unter Komposition von Abbildungen
Was bringen uns Invarianten in der Zauberei?
Bei einem Kartentrick können wir uns Invarianten zu nutze machen, indem wir beim durcheinander bringen des Kartenstapels nur Operationen nutzen, die gewünschte Eigenschaften unverändert lassen.
So können wir erreichen, dass eine Eigenschaft trotz des Mischens nicht verloren geht. Eine solche Eigenschaft könnte etwa sein, dass die roten und schwarzen Karten in verschiedene Richtungen zeigen.
Natürlich darf es nicht zu offensichtlich und einfach sein, da sonst der Effekt des Zauberns verloren geht.
Die Mathematik hinter dem Zaubern
Notation
Sei [math]n \in \mathbb{N}[/math] die Anzahl der roten und der schwarzen Karten. Der Stapel besteht also aus [math] 2n [/math] Karten. Es ist erlaubt, dass einige Karten umgedreht sind, dieser Zustand wird wie folgt geschrieben: [math]r[/math] ist eine rote Karte und [math]-r[/math] ist eine umgedrehte rote Karte. Analog bei schwarzen Karten, die mit [math]s[/math] bezeichnet werden.
Der ganze Stapel wird beschrieben durch eine Folge [math](x_1,x_2,\dots,x_{2n})[/math], wobei [math]x_i \in \{r,-r,s,-s\}\ \forall i \in \{1,\dots,2n\}[/math]. Die Menge dieser Folgen sei [math]\Delta_{2n}[/math], sie hat offensichtlich [math]4^{2n}[/math] Elemente.
Beispiel
Definition
Ein [math](x_1,\dots,x_{2n}) \in \Delta_{2n}[/math] erfüllt die Eigenschaft [math]\epsilon[/math], wenn für ein [math](x_1,\dots,x_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon}[/math] gilt: [math]x_2, x_4, x_6, \dots \in \{r,-s\}[/math] und [math]x_1, x_3, x_5, \dots \in \{-r,s\}[/math] oder umgekehrt.
D.h. das umdrehen jeder zweiten Karte bewirkt, dass rote und schwarze Karten in verschiedene Richtungen zeigen. Die Menge der Folgen mit [math]\epsilon[/math] bezeichnen wir mit [math]\Delta_{2n, \epsilon}[/math].
Beispiele
- [math](r,s,r,s,r,s,r,s)[/math]
- [math](s,r,s,r,s,r,s,r)[/math]
- [math](s,-s,-r,r,s,-s,-r,r)[/math]
(r,s,r,s,r,s,r,s)
(s,r,s,r,s,r,s,r)
(s,−s,−r,r,s,−s,−r,r)
Zugelassene Handlungen
Wir wollen nun Handlungen finden die die Eigenschaften [math]\epsilon[/math]beibehält.
Diese Handlungen sollen sein:
- Reihenfolge verändern
- Karten umdrehen
- Vorschriften sollen für alle Folgen die gleichen sein
Diese Handlungen "verpacken" wir in Abbildungen [math]\Phi [/math]auf [math]\Delta_{2n, \epsilon}[/math].
####Beispiele dazu???
Die Gruppe dieser Abbildungen nennen wir [math]\mathcal{G} [/math]
Nun wollen wir wissen für welche [math]\Phi \in \mathcal{G} [/math] gilt, dass für eine Folge [math](x_1,\dots,x_{2n}) \in \Delta_{2n, \epsilon}[/math]auch gilt [math]\phi((x_1,\dots,x_{2n})) \in \Delta_{2n, \epsilon}[/math].
Also welche [math]\Phi \in \mathcal{G} [/math] [math]\Delta_{2n, \epsilon}[/math]invariant lassen.
Nennen wir diese Menge [math]\mathcal{G}_{\epsilon} [/math].
Handlung 1
Sei [math]1 \leq k \leq 2n [/math]. Wir bezeichnen die erste Handlung mit [math]\mathcal{A} _k [/math] und definieren so
[math]\mathcal{A} _k((x_1,\dots,x_{2n})) :=(x_{k+1},\dots,x_{2n},x_1,\dots,x_{k}) [/math]
In Worten: [math]\mathcal{A} _k [/math] stellt das Abheben von k Karten dar, die anschließend wieder unter den Stapel gelegt werden.
Diese Handlung ist in [math]\mathcal{G}_{\epsilon} [/math].
| Antwort |
| Der Portier lässt jeden Gast k Zimmer weiter gehen. Somit werden wie bei 3.1 die ersten k Zimmer für dich und deine Freunde frei.
Die hierbei entstandene Bijektion lässt sich als Abbildung von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen ohne {1,2,3,...,k} verstehen, es gilt also [math] |\mathbb{N}| = |\mathbb{N} \text{ \[1,2,3,...,k]}| [/math] Oder auch [math] \infty+k=\infty [/math] |
